Как решать задачи на вписанную окружность треугольника

Свойства и рабочие формулы

Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника и лежит на пересечении внутренних биссектрис. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне. В каждый невырожденный треугольник можно вписать ровно одну окружность.

Главная формула S = pr, где S — площадь, p = (a + b + c)/2 — полупериметр, r — радиус. Отсюда r = S/p. Если известны три стороны, площадь находят по Герону: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)].

Касательные, проведённые из одной вершины к окружности, равны. Это позволяет выразить части сторон через три отрезка, а затем использовать периметр. Сначала определите, какой набор данных дан: площадь и периметр, три стороны или отрезки касательных.

• найти полупериметр
• вычислить площадь
• применить r = S/p
• отметить равные касательные
• проверить единицы
• сравнить радиус с высотами

Пример 1: прямоугольный треугольник

У прямоугольного треугольника катеты 6 и 8 см, гипотенуза 10 см. Площадь S = 6·8/2 = 24 см². Полупериметр p = (6 + 8 + 10)/2 = 12 см.

Радиус r = S/p = 24/12 = 2 см. Проверка специальной формулой для прямоугольного треугольника: r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 см.

Пример 2: три стороны и формула Герона

Даны стороны 13, 14 и 15 см. Полупериметр p = 21 см. По формуле Герона S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².

Тогда r = 84/21 = 4 см. Независимая проверка: сумма площадей трёх треугольников с общей высотой r равна (13r + 14r + 15r)/2 = 42r/2 = 21r. При r = 4 получаем 84 см².

Отрезки касательных

Если окружность касается сторон AB, BC и AC, то отрезки касательных из каждой вершины попарно равны. Обозначив их x, y и z, получаем AB = x + y, BC = y + z, AC = x + z.

Из этих равенств следует, что отрезок от вершины A до точки касания равен p − a, где a — противоположная сторона BC. Такая запись полезна, когда даны части одной стороны или периметр.

Ошибки и чек-лист

Не подставляйте полный периметр вместо полупериметра: это уменьшит радиус вдвое. Не путайте радиус вписанной окружности r с радиусом описанной R. Формула Герона требует существования треугольника.

После расчёта проверьте S = pr. Радиус должен быть положительным и не превосходить ни одну высоту. В точке касания радиус образует со стороной прямой угол.

• полупериметр найден делением на два
• площадь положительна
• использован радиус r
• равные касательные учтены
• проверка S = pr выполнена