Как решать задачи на биссектрису треугольника
Биссектриса делит угол пополам и связывает противоположную сторону с двумя прилежащими сторонами. Верно составленная пропорция часто превращает геометрическую задачу в одно линейное уравнение.
Теорема и порядок применения
Пусть в треугольнике ABC биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. Теорема даёт BD/DC = AB/AC. Отрезок рядом со стороной AB стоит в числителе слева, а отрезок рядом со стороной AC — в знаменателе.
Сначала отметьте равные половины угла A. Подпишите прилежащие стороны AB и AC, затем соответствующие части BD и DC. Запишите отношение в одном направлении. Если известна вся сторона BC, добавьте равенство BD + DC = BC.
Обратная теорема тоже полезна: если точка D на BC удовлетворяет BD/DC = AB/AC, то AD является биссектрисой угла A. Это позволяет доказать назначение отрезка по длинам, не сравнивая углы напрямую.
- указать вершину делимого угла
- сопоставить прилежащие стороны
- записать BD/DC = AB/AC
- добавить сумму частей при необходимости
- решить пропорцию
- проверить, где должна быть большая часть
Пример 1: разделить противоположную сторону
В треугольнике ABC даны AB = 6 см, AC = 9 см, BC = 10 см. Биссектриса AD делит BC на части BD и DC. По теореме BD/DC = 6/9 = 2/3. Всего отношение содержит 2 + 3 = 5 долей.
Одна доля равна 10/5 = 2 см. Поэтому BD = 2·2 = 4 см, DC = 3·2 = 6 см. Проверка: 4 + 6 = 10, а 4/6 = 2/3 = 6/9. Более длинной стороне AC соответствует большая часть DC.
Пример 2: найти неизвестную сторону
Биссектриса AD делит BC так, что BD = 5 см, DC = 7 см. Известно AB = 10 см. Найдём AC. Записываем 5/7 = 10/AC и перемножаем крайние и средние члены: 5·AC = 70.
Получаем AC = 14 см. Независимая проверка: BD/DC = 5/7, AB/AC = 10/14 = 5/7. Сторона AC больше AB в 1,4 раза, и соответствующий отрезок DC также больше BD в 1,4 раза.
Длина биссектрисы и особые случаи
Если нужно найти длину биссектрисы из вершины A, используют формулу lₐ² = bc[1 − a²/(b + c)²], где a — противоположная сторона, b и c — прилежащие. Все длины должны относиться к одной системе обозначений.
В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию одновременно является медианой и высотой. В произвольном треугольнике это неверно. Три внутренние биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности, равноудалённом от сторон.
Ошибки и итоговый чек-лист
Не связывайте BD с AC только потому, что они находятся по разные стороны рисунка. Части противоположной стороны соответствуют прилежащим сторонам у своих концов: BD относится к AB, DC — к AC.
После решения сложите части и сравните отношения. Большая прилежащая сторона должна получить большую часть BC. Формулу длины биссектрисы нельзя заменять теоремой Пифагора, если прямой угол не доказан.
- точка D лежит на противоположной стороне
- части сопоставлены с нужными сторонами
- отношения записаны в одном направлении
- сумма частей равна BC
- геометрический смысл ответа проверен
Продолжить разбор
Связанные страницы помогут выбрать подходящий способ работы с заданием.
Частые вопросы
Что делает биссектриса угла?
Делит угол на два равных угла.
Как формулируется теорема о биссектрисе?
Биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Как записать пропорцию для AD?
Если D лежит на BC, то BD/DC = AB/AC.
Когда биссектриса является медианой?
В равнобедренном треугольнике для биссектрисы, проведённой к основанию.
Где пересекаются биссектрисы треугольника?
В центре вписанной окружности.
Можно ли применить обратную теорему?
Да: нужное отношение частей и сторон доказывает, что отрезок является биссектрисой.
Сложное задание? Давайте разберём
Отправьте фотографию или текст и получите понятное объяснение удобным для вас способом.