Как применять теорему Пифагора

Когда работает теорема Пифагора

Теорема применяется только к прямоугольному треугольнику. Его катеты a и b образуют угол 90°, а гипотенуза c лежит напротив этого угла. Она всегда является самой длинной стороной.

Формула записывается как a² + b² = c². Названия букв не важны, но роль сторон важна: квадрат гипотенузы стоит отдельно, а квадраты катетов складываются.

Если на рисунке прямой угол не отмечен и не следует из условия, использовать теорему нельзя без дополнительного доказательства. Для произвольного треугольника связь сторон устроена иначе.

Как найти гипотенузу

Когда известны оба катета, возведите каждый в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень: c = √(a² + b²). Корень берут положительный, поскольку речь идёт о длине.

До вычислений полезно оценить ответ: гипотенуза должна быть больше каждого катета, но меньше их суммы. Эта проверка следует из свойств треугольника и быстро обнаруживает неверно выбранную формулу.

• найти сторону напротив прямого угла
• возвести оба катета в квадрат
• сложить квадраты и извлечь корень
• сравнить ответ с катетами и их суммой

Полный пример поиска гипотенузы

Пусть катеты равны 6 см и 8 см. По теореме Пифагора c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Значит, c = √100 = 10 см.

Проверка: 10 больше 6 и 8, но меньше 6 + 8 = 14. Подстановка возвращает верное равенство 36 + 64 = 100.

Частая ошибка — сложить сначала длины и затем возвести сумму в квадрат. Но (6 + 8)² = 196 не равно 6² + 8² = 100. В формуле каждый катет возводится в квадрат отдельно.

Как найти неизвестный катет

Если известны гипотенуза c и катет a, перенесите a²: b² = c² − a², поэтому b = √(c² − a²). При поиске катета квадраты вычитают, а не складывают.

Например, гипотенуза равна 13 м, а один катет — 5 м. Тогда второй катет b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 м.

Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Если под корнем получилось отрицательное число, данные не могут описывать такой прямоугольный треугольник либо стороны перепутаны: гипотенуза должна быть длиннее катета.

Если корень не извлекается нацело

Для катетов 2 и 3 гипотенуза равна √(2² + 3²) = √13. Это точный ответ. Если нужна десятичная запись, √13 ≈ 3,61 до сотых.

Не заменяйте √(a² + b²) выражением a + b: корень суммы не равен сумме корней. Сначала выполняют действия под корнем, затем упрощают корень или находят приближённое значение.

Округление выполняют в конце. Если промежуточные длины уже приближённые, сохраняйте несколько дополнительных знаков, иначе итоговая погрешность может стать заметной.

Обратная теорема и практические задачи

Обратная теорема помогает проверить вид треугольника. Если для его сторон выполняется a² + b² = c², где c — наибольшая сторона, то угол напротив c прямой. Например, 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², поэтому стороны 7, 24 и 25 образуют прямоугольный треугольник.

В прямоугольнике диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Поэтому для сторон 9 и 12 диагональ равна √(9² + 12²) = 15. Аналогично находят расстояние по горизонтальному и вертикальному смещениям.

В текстовой задаче сначала нарисуйте схему, отметьте прямой угол и подпишите известные длины. Только после этого выбирайте сложение или вычитание квадратов.

Типичные ошибки и надёжная проверка

Основные ошибки — принять катет за гипотенузу, применить формулу к непрямоугольному треугольнику, забыть квадрат или неверно извлечь корень. Иногда из c² = 100 записывают c = ±10, но длина стороны положительна, поэтому c = 10.

После решения подставьте все три длины в исходное равенство и проверьте, что гипотенуза самая длинная. Дополнительно используйте неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других.

• гипотенуза лежит напротив угла 90°
• при поиске гипотенузы квадраты складывают
• при поиске катета один квадрат вычитают из другого
• длина равна положительному квадратному корню