Как найти площадь треугольника

1. Если известны основание и высота

Используйте S = ah / 2, где a — выбранное основание, а h — высота, проведённая к нему. Высота должна быть перпендикулярна основанию или его продолжению.

Не подставляйте вместо высоты боковую сторону только потому, что она изображена вертикально: сначала найдите отметку прямого угла.

2. Если даны другие величины

По двум сторонам a и b и углу между ними γ площадь равна S = ab·sin γ / 2. Если известны три стороны, сначала найдите полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем примените формулу Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

Для прямоугольного треугольника катеты уже являются взаимно перпендикулярными основанием и высотой, поэтому S = ab / 2.

3. Проверьте формулу и единицы

Все длины перед вычислением приведите к одной единице. Площадь записывают в квадратных единицах: см², м² и так далее.

Оцените результат по чертежу. Площадь треугольника с теми же основанием и высотой должна быть вдвое меньше площади соответствующего параллелограмма.

• формула должна использовать именно известные величины
• угол в формуле с синусом расположен между выбранными сторонами
• полупериметр в формуле Герона — это половина суммы трёх сторон

Примеры выбора формулы

Если основание равно 8 см, а проведённая к нему высота — 5 см, площадь S = 8 × 5 / 2 = 20 см². Боковая сторона, не перпендикулярная основанию, не может заменить высоту.

Если известны стороны 3, 4 и 5, можно заметить прямоугольный треугольник и получить S = 3 × 4 / 2 = 6. Формула Герона даст тот же результат, но потребует больше действий; выбирайте самый прозрачный способ по данным.

• отметить известные элементы
• проверить перпендикулярность высоты
• записать ответ в квадратных единицах

Выбор формулы по известным данным

Если основание треугольника равно 8 см, а проведённая к нему высота равна 5 см, площадь S = ah/2 равна 8 × 5 / 2 = 20 см². Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию; произвольную боковую сторону подставлять вместо неё нельзя.

Для прямоугольного треугольника катеты уже перпендикулярны, поэтому их можно взять как основание и высоту. Проверьте единицу: площадь выражается в квадратных сантиметрах. Она должна быть вдвое меньше площади прямоугольника с теми же основанием и высотой.

• выбрать основание
• найти перпендикулярную ему высоту
• записать квадратную единицу

Если высота лежит вне треугольника

В тупоугольном треугольнике высота к стороне может падать на продолжение основания. Её длина всё равно входит в формулу S = ah/2. На чертеже продлите сторону и отметьте прямой угол, чтобы не заменить высоту наклонным отрезком.