Как находить углы при параллельных прямых

Как различать пары углов

Секущая пересекает две прямые в разных точках. Внутренние углы лежат в полосе между прямыми, внешние — снаружи. Сначала отметьте эту полосу, затем сравните положение двух выбранных углов относительно секущей и точек пересечения.

Накрест лежащие углы находятся между прямыми по разные стороны секущей. Односторонние внутренние тоже лежат между прямыми, но по одну сторону секущей. Соответственные занимают одинаковое положение у двух пересечений: например, оба расположены справа от секущей и над своей прямой.

У каждого пересечения действуют общие правила. Вертикальные углы равны, а смежные дают в сумме 180°. Эти свойства не требуют параллельности. Они помогают перейти от одного известного угла к трём углам в той же точке.

• найти две точки пересечения
• выделить полосу между прямыми
• проверить сторону секущей
• назвать пару углов
• использовать вертикальные и смежные углы

Три свойства для параллельных прямых

Если две прямые параллельны, накрест лежащие углы равны. Соответственные углы тоже равны. Сумма односторонних внутренних углов равна 180°. Перед применением любого из трёх свойств в условии или доказательстве должна появиться параллельность прямых.

Не выбирайте правило по внешнему сходству рисунка. Назовите положение пары словами. Если оба угла внутри и стоят по разные стороны секущей, используйте равенство накрест лежащих. Если оба внутри и по одну сторону, составляйте сумму 180°.

После нахождения одного угла можно заполнить всю схему. Равные ему углы получают через вертикальность, соответствие или накрест лежащее положение. Остальные углы смежные с найденными, поэтому равны 180° минус известное значение.

Пример 1: найти все углы по одному

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из углов равен 64°. Вертикальный ему угол тоже равен 64°. Два смежных угла у первой точки пересечения равны 180° - 64° = 116°.

У второй точки соответствующий угол равен 64°, потому что прямые параллельны. Его вертикальный угол также равен 64°, а два смежных равны 116°. В результате четыре угла имеют величину 64°, ещё четыре — 116°.

Проверка: каждая смежная пара даёт 64° + 116° = 180°, вертикальные пары равны. Вокруг каждой точки сумма четырёх углов составляет 2·64° + 2·116° = 360°.

Пример 2: задача с переменной

Накрест лежащие углы при параллельных прямых заданы выражениями 3x + 10° и 5x - 30°. Они равны, поэтому 3x + 10 = 5x - 30. Переносим слагаемые: 40 = 2x, откуда x = 20.

Подставляем значение: 3·20 + 10 = 70°, а 5·20 - 30 = 70°. Равенство подтвердилось. Смежные с ними углы равны 180° - 70° = 110°.

Независимая проверка использует сумму углов вокруг точки: 70° + 110° + 70° + 110° = 360°. Если после решения два выражения дают разные числа, ошибка возникла в уравнении или подстановке.

Как доказать параллельность прямых

Те же соотношения работают в обратную сторону как признаки. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, прямые параллельны. Такой же вывод получают при равенстве соответственных углов или при сумме односторонних внутренних углов 180°.

Пусть односторонние внутренние углы равны 7x + 5° и 5x + 7°, а x = 14. Первый угол равен 103°, второй 77°. Их сумма 180°, значит прямые параллельны по признаку.

В доказательстве назовите не только числовое соотношение, но и положение углов. Равенство случайной пары углов не доказывает параллельность. Нужна одна из трёх пар, образованных одной секущей.

Ошибки и проверка решения

Не используйте свойства параллельных прямых, если параллельность не дана и ещё не доказана. Не путайте односторонние углы с соответственными: первые внутри полосы и дают сумму 180°, вторые занимают одинаковое положение и равны.

Сверяйте результат с диапазоном от 0° до 180°. На стандартном чертеже четыре угла должны получить одно значение, а четыре — дополнительное до 180°. Исключение возникает при перпендикулярной секущей: тогда все восемь углов равны 90°.

• параллельность дана или доказана
• пара углов названа верно
• равенство или сумма выбраны по положению
• найденный угол лежит между 0° и 180°
• смежные углы дают 180°
• подстановка проверяет уравнение