Как решать задачи на подобие треугольников

Три признака и порядок решения

Два треугольника подобны по двум углам, если два угла одного равны двум углам другого. Второй признак требует пропорциональности двух сторон и равенства углов между ними. Третий признак работает, когда три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Записывайте подобие в согласованном порядке вершин. Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F, то ΔABC ∼ ΔDEF. Из такой записи сразу следует AB/DE = BC/EF = AC/DF. Перестановка одной вершины связывает несоответствующие стороны и портит расчёт.

Коэффициент подобия k задают как отношение стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго. В том же направлении относятся периметры и все линейные элементы: высоты, медианы, биссектрисы. Площади относятся как k².

• найти равные углы или пропорциональные стороны
• назвать признак подобия
• записать вершины в одном порядке
• сопоставить стороны
• составить одну пропорцию
• проверить масштаб ответа

Пример 1: найти неизвестную сторону

Пусть ΔABC ∼ ΔDEF, причём A соответствует D, B — E, C — F. Известно: AB = 6 см, BC = 9 см, DE = 10 см. Найдём EF. Записываем пропорцию AB/DE = BC/EF: 6/10 = 9/EF.

После перемножения крайних и средних членов получаем 6·EF = 90, значит EF = 15 см. Проверка масштаба: второй треугольник больше первого в 10/6 = 5/3 раза; 9·5/3 = 15. Оба способа дали один результат.

Пример 2: параллельная прямая в треугольнике

В треугольнике ABC точки D и E лежат на AB и AC, а DE параллельна BC. Пусть AD = 4 см, AB = 10 см, BC = 15 см. Угол A общий, а углы при D и B равны как соответственные при параллельных прямых. Поэтому ΔADE ∼ ΔABC по двум углам.

Коэффициент малого треугольника к большому равен AD/AB = 4/10 = 0,4. Тогда DE/BC = 0,4 и DE = 15·0,4 = 6 см. Независимая проверка: AB/AD = 2,5 и BC/DE = 15/6 = 2,5.

Периметры, площади и особые случаи

Если стороны первого треугольника в 3 раза больше соответствующих сторон второго, его периметр тоже больше в 3 раза, а площадь — в 9 раз. Например, при площади меньшего треугольника 8 см² площадь большего равна 8·3² = 72 см².

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, образует два меньших треугольника, подобных исходному и друг другу. Здесь особенно важно сначала отметить равные острые углы, а затем записать порядок вершин. Равенство только одного угла подобие не доказывает.

Типичные ошибки и чек-лист

Не сравнивайте стороны по положению на рисунке: чертёж может быть выполнен не в масштабе. Стороны сопоставляют по равным углам. Не путайте коэффициент k с обратным отношением и не применяйте k к площади вместо k².

После вычисления сравните размеры: стороне большего треугольника должно соответствовать большее число. Подставьте ответ в две независимые пары отношений. Если пропорции различаются, вернитесь к порядку вершин.

• признак подобия указан
• соответствие вершин записано
• отношения взяты в одном направлении
• для площади использован квадрат коэффициента
• ответ проверен второй пропорцией