Как решать задачи по теореме синусов

Формула и правильные пары

В треугольнике ABC сторона a лежит напротив угла A, сторона b напротив B, сторона c напротив C. Теорема записывается так: a/sin A = b/sin B = c/sin C.

В расширенной записи каждое отношение равно диаметру описанной окружности: a/sin A = 2R. Буква R обозначает радиус этой окружности.

Главная работа перед вычислением состоит в верной расстановке букв. Сторона и угол в одном отношении должны находиться напротив друг друга, а не рядом на рисунке.

Алгоритм поиска стороны

Найдите известную пару, например a и A. Затем выберите отношение с искомой стороной b и её углом B: a/sin A = b/sin B. Выразите b = a sin B / sin A.

Если условие сообщает два угла, вычислите третий по сумме A + B + C = 180°. Угол напротив искомой стороны должен быть известен до подстановки.

• нарисовать треугольник и подписать вершины
• соединить стороны с противолежащими углами
• найти полную известную пару
• выбрать два нужных отношения
• проверить режим градусов
• сравнить стороны и углы по величине

Пример 1: сторона по стороне и двум углам

Пусть A = 30°, B = 45°, а сторона a = 6 см. Требуется найти сторону b, которая лежит напротив угла B.

Запишем 6/sin 30° = b/sin 45°. Тогда b = 6 × sin 45° / sin 30° = 6 × (√2/2)/(1/2) = 6√2 см, примерно 8,49 см.

Проверка по порядку величин: угол B больше угла A, поэтому сторона b должна быть длиннее стороны a. Значение 8,49 см больше 6 см и согласуется с рисунком.

Алгоритм поиска угла

При известных a, A и b выразите синус: sin B = b sin A / a. Полученное число должно находиться от 0 до 1. После этого калькулятором найдите B = arcsin(b sin A / a).

Синус острого угла равен синусу дополнительного тупого угла: sin B = sin(180° - B). Поэтому набор «две стороны и угол не между ними» иногда задаёт два разных треугольника.

Проверьте второй вариант B₂ = 180° - B₁. Он подходит, только если A + B₂ < 180°. Оставшийся угол C должен быть положительным.

Пример 2: угол и два возможных ответа

Даны a = 10 см, A = 30° и b = 14 см. Находим sin B = 14 × sin 30° / 10 = 14 × 0,5 / 10 = 0,7.

Первый угол B₁ = arcsin 0,7 ≈ 44,4°. Второй угол B₂ = 180° - 44,4° = 135,6°. Оба проходят проверку суммы: 30° + 44,4° < 180° и 30° + 135,6° < 180°.

Получаются два треугольника. В первом C ≈ 105,6°, во втором C ≈ 14,4°. Если чертёж или дополнительное условие требует острый либо тупой угол B, оно выбирает один вариант.

Радиус описанной окружности

Из равенства a/sin A = 2R следует R = a/(2 sin A). Для этого расчёта достаточно одной стороны и противолежащего угла.

Например, a = 8 см и A = 30°. Тогда R = 8/(2 × 1/2) = 8 см. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру, поскольку sin 90° = 1.

Радиус нельзя искать по стороне и прилежащему к ней углу. Сначала установите угол напротив выбранной стороны.

Выбор теоремы, ошибки и проверка

Теорема синусов удобна при известной паре «сторона и угол напротив». Две стороны и угол между ними либо три стороны ведут к теореме косинусов.

Частая ошибка состоит в перестановке углов в пропорции. Подпишите a напротив A до записи чисел и сохраняйте тот же порядок в обоих отношениях.

Не округляйте синусы в середине длинного расчёта. Сохраните выражение в калькуляторе, округлите финальную длину и проверьте, что большему углу соответствует большая сторона.

• в каждой дроби стоит противолежащая пара
• сумма трёх углов равна 180°
• значение синуса находится от 0 до 1
• для arcsin проверен второй угол
• самая длинная сторона лежит напротив самого большого угла
• длины прошли неравенство треугольника