Как решать задачи по теореме косинусов

Формула и обозначения

Пусть сторона c лежит напротив угла C, а стороны a и b образуют этот угол. Тогда c² = a² + b² - 2ab cos C. Для других сторон буквы меняют по тому же правилу: искомая сторона стоит слева, а в косинусе указан противолежащий ей угол.

При C = 90° косинус равен нулю, поэтому формула превращается в теорему Пифагора: c² = a² + b². Острый угол уменьшает квадрат третьей стороны, тупой угол увеличивает его, поскольку косинус тупого угла отрицателен.

Формула связывает четыре величины. Для однозначного вычисления нужны три известные: две стороны и угол между ними либо три стороны.

Алгоритм поиска стороны

Нарисуйте треугольник и подпишите угол между двумя известными сторонами. Назовите противоположную ему сторону c. Запишите формулу с буквами, а затем подставьте числа.

Сначала вычислите 2ab cos C, потом квадрат искомой стороны. В ответе возьмите положительный квадратный корень, потому что длина стороны положительна.

• отметить известный угол на рисунке
• найти противолежащую ему сторону
• проверить режим градусов на калькуляторе
• вычислить выражение под корнем
• сравнить ответ с неравенством треугольника

Пример 1: третья сторона по двум сторонам и углу

В треугольнике a = 5 см, b = 8 см, угол C между ними равен 60°. Найдём сторону c: c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos 60°.

Косинус 60° равен 1/2. Получаем c² = 25 + 64 - 80 × 1/2 = 89 - 40 = 49, поэтому c = 7 см.

Независимая проверка: разность двух известных сторон равна 3, сумма равна 13. Найденная длина удовлетворяет условию 3 < 7 < 13. Угол 60° острый, поэтому 7² меньше 5² + 8², что тоже согласуется с формулой.

Алгоритм поиска угла

Если известны три стороны, выразите косинус: cos C = (a² + b² - c²)/(2ab). Сторона c должна лежать напротив искомого угла C.

После вычисления косинуса найдите угол функцией arccos. Значение косинуса должно попасть в отрезок от -1 до 1. Число за его пределами указывает на ошибку в арифметике или на невозможный набор сторон.

По знаку косинуса можно проверить вид угла до вычисления: положительный косинус даёт острый угол, ноль даёт прямой, отрицательный косинус даёт тупой.

Пример 2: угол по трём сторонам

Стороны треугольника равны a = 5 см, b = 7 см и c = 8 см. Найдём угол C напротив стороны 8 см: cos C = (5² + 7² - 8²)/(2 × 5 × 7).

Числитель равен 25 + 49 - 64 = 10, знаменатель равен 70. Получаем cos C = 1/7 ≈ 0,143. Калькулятор в режиме градусов даёт C ≈ 81,8°.

Проверим знак. Квадрат стороны c равен 64, а сумма квадратов a и b равна 74. Поскольку 64 < 74, угол напротив c должен быть острым. Результат 81,8° этому условию отвечает.

Когда выбрать другую формулу

Теорема косинусов удобна при наборе данных «две стороны и угол между ними» или «три стороны». Если дана сторона и два угла, сначала найдите третий угол, затем примените теорему синусов.

Для прямоугольного треугольника теорема Пифагора короче, хотя она остаётся частным случаем теоремы косинусов. Площадь по стороне и высоте также не требует косинуса.

Перед расчётом проверьте существование треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Нарушение этого условия нельзя исправить выбором другой теоремы.

Ошибки и итоговая проверка

Чаще всего берут косинус угла, который не лежит напротив искомой стороны. Подписи на рисунке помогают сохранить правильную пару c и C.

Знак перед 2ab cos C остаётся минусом. При тупом угле сам косинус отрицателен, поэтому вычитание отрицательного числа увеличивает результат.

Оцените длину до округления, сохраните промежуточный косинус и округляйте только окончательный угол. Ранняя замена дроби коротким десятичным числом ухудшает точность.

• сторона и противолежащий угол подписаны одной буквой
• угол между известными сторонами выбран верно
• калькулятор работает в градусах
• длина прошла неравенство треугольника
• вид найденного угла совпал со знаком косинуса