Как найти площадь трапеции

Основная формула площади

У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна. Эти стороны называют основаниями и обычно обозначают a и b. Высота h представляет перпендикуляр между прямыми, на которых лежат основания.

Площадь вычисляют по формуле S = (a + b)h/2. Сначала сложите основания, разделите сумму на два и умножьте результат на высоту. Порядок можно изменить без изменения ответа.

Средняя линия m равна полусумме оснований: m = (a + b)/2. Поэтому ту же площадь можно записать как S = mh. Эта запись удобна, когда условие сразу даёт среднюю линию.

Алгоритм по чертежу и условию

Найдите на рисунке параллельные стороны и подпишите их как основания. Затем найдите отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Наклонная боковая сторона не заменяет высоту.

Приведите длины к одной единице. Подставьте только два основания и высоту, выполните действия и запишите квадратную единицу измерения.

• отметить параллельные основания a и b
• найти или провести высоту h
• проверить единицы всех длин
• подставить данные в S = (a + b)h/2
• оценить размер площади
• записать ответ в квадратных единицах

Пример 1: основания и высота известны

Основания трапеции равны 8 см и 14 см, высота равна 5 см. Подставим данные: S = (8 + 14) × 5 / 2.

Сумма оснований равна 22 см, полусумма равна 11 см. Получаем S = 11 × 5 = 55 см².

Проверим границами. Прямоугольник шириной 8 см и высотой 5 см имеет площадь 40 см², а прямоугольник шириной 14 см имеет площадь 70 см². Площадь трапеции 55 см² лежит между ними.

Пример 2: сначала нужно найти высоту

У равнобедренной трапеции основания равны 16 см и 10 см, боковая сторона равна 5 см. Опустим две высоты от концов меньшего основания. Разность оснований 6 см делится на два равных отрезка по 3 см.

Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетом 3 см. По теореме Пифагора h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, значит h = 4 см.

Теперь S = (16 + 10) × 4 / 2 = 52 см². Обратная проверка высоты даёт √(3² + 4²) = 5 см, что совпадает с боковой стороной.

Формула через диагонали

Если известны диагонали d₁, d₂ и угол α между ними, площадь равна S = d₁d₂ sin α / 2. Формула подходит любой выпуклой четырёхугольной фигуре, включая трапецию.

При диагоналях 6 см и 10 см и угле 30° получаем S = 6 × 10 × 0,5 / 2 = 15 см². Угол можно заменить смежным, потому что их синусы равны.

Не применяйте эту формулу, если условие даёт угол между диагональю и основанием. Нужен именно угол между двумя диагоналями.

Особые виды трапеций

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и совпадает с высотой. Её длину можно сразу подставить в основную формулу.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а отрезки у большего основания после проведения высот тоже равны. Каждый такой отрезок равен половине разности оснований.

Для трапеции на клетчатой бумаге высоту считают по клеткам перпендикулярно основаниям. Длина наклонного отрезка в клетках не равна вертикальному или горизонтальному расстоянию между параллельными прямыми.

Ошибки и проверка результата

Частая ошибка состоит в умножении полусуммы оснований на боковую сторону. Формула требует высоту. Проверьте наличие прямого угла у выбранного отрезка.

Иногда делят пополам произведение только одного основания или забывают сложить основания. Запишите формулу отдельной строкой до подстановки чисел.

Сравните ответ с площадями прямоугольников высоты h и ширины a либо b. Для положительных оснований площадь трапеции должна находиться между ah и bh. Такая оценка обнаруживает многие арифметические ошибки.

• основания параллельны
• высота перпендикулярна основаниям
• обе длины записаны в одной единице
• деление на два относится к сумме оснований
• ответ имеет квадратную единицу
• результат прошёл оценку границами