Как решать задачи на среднюю линию треугольника

Теорема и порядок решения

Пусть точки M и N являются серединами сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда MN является средней линией: MN ∥ BC и MN = BC/2. Обратный расчёт тоже верен: BC = 2MN. Для применения теоремы нужно подтвердить обе середины.

Сначала отметьте равные отрезки AM = MB и AN = NC. Затем определите, какой стороне параллельна средняя линия. Если известна третья сторона, разделите её длину на два. Если известна средняя линия, умножьте её длину на два. Не выбирайте сторону только по положению на рисунке.

Треугольники AMN и ABC подобны. Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен 1/2. Поэтому все соответствующие длины уменьшаются вдвое, периметр малого треугольника равен половине исходного, а площадь составляет 1/4 площади ABC.

• доказать две середины
• найти третью сторону
• провести параллельность
• выбрать коэффициент 1/2
• различить длину и площадь
• проверить соответствие вершин

Пример 1: найти среднюю линию и сторону

В треугольнике ABC точки M и N делят стороны AB и AC пополам, а BC = 18 см. По теореме MN = BC/2 = 18/2 = 9 см. Параллельность MN и BC следует из той же теоремы и не требует отдельного измерения углов.

Если в обратной задаче MN = 7,5 см, то BC = 2·7,5 = 15 см. Проверка проста: средняя линия должна быть короче параллельной стороны в два раза. Результат 15 см больше 7,5 см, а их отношение равно двум.

Пример 2: периметр серединного треугольника

Стороны исходного треугольника равны 10, 14 и 18 см. Треугольник, вершины которого лежат в серединах трёх сторон, имеет стороны 5, 7 и 9 см. Каждая его сторона является средней линией исходного треугольника.

Периметр малого треугольника равен 5 + 7 + 9 = 21 см. Периметр исходного равен 42 см, поэтому дополнительная проверка даёт 42/2 = 21 см. Нельзя делить площадь пополам по той же причине: площадь меняется как квадрат коэффициента подобия.

Площадь, трапеция и несколько средних линий

Если площадь ABC равна 80 см², то площадь AMN равна 80·(1/2)² = 20 см². Оставшаяся четырёхугольная часть имеет площадь 60 см². Она не подобна исходному треугольнику, поэтому для неё удобнее вычесть площадь малого треугольника.

Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Их стороны составляют половины соответствующих сторон ABC, а площади равны четверти исходной. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, подчиняется другой формуле: он равен полусумме оснований.

Ошибки и практический чек-лист

Отрезок из вершины к середине противоположной стороны является медианой, а не средней линией. Для средней линии оба конца лежат на сторонах и не совпадают с вершинами. Одной известной середины недостаточно: второй конец тоже должен делить сторону пополам.

Не переносите коэффициент 1/2 с длин на площади. Проверьте порядок вершин при подобии и не считайте рисунок выполненным в масштабе. Если условие даёт отношения частей стороны, сначала докажите их равенство или вычислите длины, и только затем применяйте теорему.

• оба конца являются серединами
• параллельная сторона выбрана верно
• длина уменьшена вдвое
• периметр уменьшен вдвое
• площадь уменьшена вчетверо
• медиана не перепутана со средней линией