Как решать задачи на медиану треугольника
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке, делятся ею в отношении 2:1 и разбивают фигуру на равновеликие части.
Определение и ключевые свойства
Если M является серединой стороны BC, то отрезок AM — медиана треугольника ABC. Равенство BM = MC нужно доказать по условию, отметкам на рисунке или вычислением. Перпендикулярность и деление угла пополам из определения медианы не следуют.
Все три медианы пересекаются в точке G, которую называют центром тяжести. Точка G делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины: AG:GM = 2:1. Поэтому AG = 2AM/3, а GM = AM/3.
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. У них общая высота к прямой BC и равные основания BM и MC. Три медианы делят исходный треугольник на шесть маленьких треугольников одинаковой площади.
- найти середину стороны
- отличить медиану от высоты
- использовать отношение 2:1
- сравнить площади
- выбрать формулу длины
- проверить обозначения сторон
Пример 1: точка пересечения медиан
Медиана AM равна 18 см, точка G — пересечение медиан. От вершины до центра тяжести AG = 2·18/3 = 12 см. Оставшаяся часть GM = 18/3 = 6 см.
Проверка: AG + GM = 12 + 6 = 18 см, а отношение AG:GM = 12:6 = 2:1. Если в условии дана меньшая часть GM = 5 см, вся медиана равна 15 см, а участок от вершины равен 10 см.
Пример 2: длина медианы по трём сторонам
Пусть a = BC = 6 см, b = AC = 7 см, c = AB = 5 см. Длина медианы к стороне a вычисляется по формуле mₐ = 1/2·√(2b² + 2c² − a²). Подставляем: mₐ = 1/2·√(98 + 50 − 36) = 1/2·√112 = 2√7 см.
Приближённо 2√7 ≈ 5,29 см. Проверим диапазон: в треугольнике ABM стороны около медианы равны 5, 3 и 5,29, и неравенства треугольника выполняются. Подкоренное выражение положительно, что согласуется с существованием исходного треугольника.
Площадь и особые треугольники
Если площадь ABC равна 30 см², медиана AM делит её на две части по 15 см². Обратное тоже полезно: если известна площадь одного из треугольников ABM или ACM, площадь исходного треугольника вдвое больше.
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Эти свойства нельзя применять к произвольной медиане без указанного типа треугольника.
Ошибки и итоговый чек-лист
Не считайте любую линию из вершины медианой: она должна прийти в середину противоположной стороны. Не меняйте отношение 2:1 на 1:2, если длина отсчитывается от вершины. В формуле mₐ сторона a является именно той стороной, к которой проведена медиана.
Рисунок может быть выполнен не в масштабе, поэтому равенство частей подтверждают условием или расчётом. Перед ответом сложите части медианы, проверьте единицы длины и оцените результат через неравенство треугольника.
- конец лежит в середине стороны
- отношение отсчитано от вершины
- стороны в формуле подписаны
- площади равны обоснованно
- особое свойство применено по условию
- части дают полную длину
Продолжить разбор
Связанные страницы помогут выбрать подходящий способ работы с заданием.
Частые вопросы
Что такое медиана треугольника?
Отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
В каком отношении центр тяжести делит медиану?
В отношении 2:1, считая от вершины.
Как найти длину медианы к стороне a?
По формуле mₐ = 1/2·√(2b² + 2c² − a²).
Делит ли медиана площадь пополам?
Да, она образует два треугольника равной площади.
Всегда ли медиана является высотой?
Нет. Это верно, например, для медианы к основанию равнобедренного треугольника.
Чему равна медиана к гипотенузе?
В прямоугольном треугольнике она равна половине гипотенузы.
Сложное задание? Давайте разберём
Отправьте фотографию или текст и получите понятное объяснение удобным для вас способом.