Как решать задачи на описанную окружность треугольника

Где находится центр и какую формулу выбрать

Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. В остроугольном треугольнике он находится внутри, в прямоугольном на середине гипотенузы, в тупоугольном вне треугольника. Радиусы, проведённые к трём вершинам, равны.

Универсальная формула R = abc/(4S), где a, b и c обозначают стороны, S обозначает площадь. Если известны сторона a и противолежащий угол A, удобнее расширенная теорема синусов: a/sin A = 2R, поэтому R = a/(2 sin A). Для прямоугольного треугольника R = c/2, где c обозначает гипотенузу.

Сначала отметьте, какая сторона лежит напротив известного угла. Затем найдите площадь, если нужны три стороны, или сразу примените теорему синусов. Не смешивайте радиусы R и r: заглавной буквой обычно обозначают описанную окружность, строчной обозначают вписанную.

• определить известные стороны и углы
• выбрать R = abc/(4S) или R = a/(2 sin A)
• найти площадь при необходимости
• подставить согласованные единицы
• проверить положение центра
• сравнить диаметр с наибольшей стороной

Пример 1: три стороны

Даны стороны 13, 14 и 15 см. Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 см. По формуле Герона площадь S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².

Радиус R = 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 65/8 см, то есть 8,125 см. Проверка по стороне 14: sin B = 2S/(13·15) = 168/195 = 56/65. Тогда 14/(2 sin B) = 14·65/112 = 65/8 см.

Пример 2: сторона и угол

Сторона a = 10 см лежит напротив угла A = 30°. По расширенной теореме синусов 2R = a/sin A. Так как sin 30° = 1/2, получаем R = 10/(2·1/2) = 10 см.

Диаметр равен 20 см. Независимая проверка: хорда длиной a, которая стягивает вписанный угол A, удовлетворяет равенству a = 2R sin A. Подстановка даёт 2·10·1/2 = 10 см, исходная сторона восстановлена.

Частные случаи и геометрический смысл

В прямоугольном треугольнике гипотенуза служит диаметром описанной окружности. Например, для сторон 6, 8 и 10 см радиус равен 5 см. Центр совпадает с серединой гипотенузы, поэтому расстояния от него до всех вершин равны.

У равностороннего треугольника со стороной a радиус R = a/√3. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают, но их радиусы различаются: R = 2r. В тупоугольном треугольнике центр снаружи не означает ошибку построения.

Ошибки и итоговый чек-лист

Не берите угол, прилежащий к стороне a, вместо противолежащего. В формуле abc/(4S) множитель 4 обязателен. Если площадь нашли по Герону, сначала проверьте неравенства треугольника и положительность всех множителей под корнем.

Диаметр 2R не может быть меньше любой хорды, значит 2R ≥ a, 2R ≥ b и 2R ≥ c. Для прямоугольного треугольника проверьте R = c/2. Если получено r > R, вероятно, перепутаны формулы вписанной и описанной окружностей.

• сторона сопоставлена с противолежащим углом
• площадь вычислена в квадратных единицах
• в знаменателе стоит 4S
• диаметр не меньше каждой стороны
• частный случай проверен