Как применять формулу Герона

Формула и порядок вычислений

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Полупериметр p = (a + b + c)/2. Площадь вычисляют по формуле S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Все длины перед подстановкой должны быть выражены в одной единице.

Сначала проверьте неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Затем найдите периметр, разделите его на два и отдельно вычислите три разности p − a, p − b, p − c. Перемножьте четыре множителя и извлеките квадратный корень.

Площадь имеет квадратную единицу: если стороны заданы в сантиметрах, ответ записывают в квадратных сантиметрах. Подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Ноль означает вырожденный случай, когда три отрезка не образуют обычный треугольник.

• привести длины к одной единице
• проверить неравенство треугольника
• найти полупериметр
• вычислить три разности
• извлечь корень
• записать квадратную единицу

Пример 1: стороны 3, 4 и 5

Для сторон 3 см, 4 см и 5 см полупериметр равен p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 см. Подставляем: S = √(6·(6 − 3)·(6 − 4)·(6 − 5)) = √(6·3·2·1) = √36 = 6 см².

Проверим ответ другим способом. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, потому что 3² + 4² = 5². Его площадь равна половине произведения катетов: S = 3·4/2 = 6 см². Результаты совпали.

Пример 2: равнобедренный треугольник

Пусть стороны равны 5 м, 5 м и 6 м. Полупериметр p = 8 м. По формуле Герона S = √(8·3·3·2) = √144 = 12 м².

Независимая проверка использует высоту к основанию. Она делит сторону 6 м пополам. По теореме Пифагора h = √(5² − 3²) = √16 = 4 м. Тогда S = 6·4/2 = 12 м².

Как действовать с корнями и десятичными числами

Если произведение под корнем не является полным квадратом, оставьте точный ответ с корнем или округлите только в конце. Например, для сторон 4, 5 и 6 полупериметр равен 7,5, а площадь равна √(7,5·3,5·2,5·1,5). Преждевременное округление каждого множителя увеличивает ошибку.

При дробных сторонах удобно сохранить обыкновенные дроби. Калькулятор используйте после записи формулы и промежуточных значений. Если условие требует точность до десятых, держите дополнительные знаки в вычислениях и округляйте итог по следующей цифре.

Ограничения, ошибки и чек-лист

Формула Герона применяется к евклидову треугольнику по трём сторонам. Она не заменяет проверку существования фигуры. Набор 2, 3 и 6 не подходит, потому что 2 + 3 < 6. Подстановка такого набора приводит к отрицательному выражению под корнем.

Не путайте полупериметр с периметром и не теряйте скобки в разностях. Каждая сторона вычитается из одного и того же p. Сравните результат с грубой оценкой: площадь не может превосходить половину произведения двух выбранных сторон, поскольку sin угла не больше единицы.

• треугольник существует
• p разделён на два
• все три разности положительны
• скобки сохранены
• округление выполнено в конце
• ответ записан в квадратных единицах