Как решать задачи на движение по реке

Какие скорости встречаются в условии

Собственная скорость лодки показывает её движение в стоячей воде. Скорость течения показывает движение воды относительно берега. Скорость лодки относительно берега зависит от направления: течение помогает лодке либо мешает ей.

Обозначим собственную скорость через v, скорость течения через u. По течению лодка движется со скоростью v + u, против течения со скоростью v - u. Для движения против течения требуется v > u, иначе лодка не сможет продвигаться вверх по реке в рамках обычной модели задачи.

Плот движется вместе с водой и не имеет собственной скорости. В стандартных задачах его скорость относительно берега равна скорости течения u.

Алгоритм решения задачи

Выпишите собственную скорость и скорость течения. Для каждого участка определите направление, затем найдите скорость относительно берега. После этого используйте связь s = vt и выразите требуемую величину.

Таблица с колонками «путь», «скорость», «время» защищает от смешения участков. Каждому направлению нужна отдельная строка. Одинаковый путь можно обозначить одной буквой, а время записать как s/(v + u) или s/(v - u).

• обозначить собственную скорость лодки
• записать скорость течения
• определить направление каждого участка
• найти скорость относительно берега
• составить таблицу пути, скорости и времени
• проверить единицы и смысл ответа

Пример 1: путь по течению

Собственная скорость катера равна 18 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Катер идёт по течению 2 часа. Требуется найти пройденный путь.

Скорость относительно берега равна 18 + 3 = 21 км/ч. По формуле s = vt получаем s = 21 × 2 = 42 км.

Проверка по границам: за два часа в стоячей воде катер прошёл бы 36 км. Течение помогает движению, поэтому ответ должен быть больше 36 км. Результат 42 км соответствует условию.

Пример 2: путь туда и обратно

Лодка имеет собственную скорость 12 км/ч, течение движется со скоростью 2 км/ч. Расстояние между пристанями равно 28 км. Найдём время движения по течению и против него.

По течению скорость равна 12 + 2 = 14 км/ч, время составляет 28/14 = 2 часа. Против течения скорость равна 12 - 2 = 10 км/ч, время составляет 28/10 = 2,8 часа, то есть 2 часа 48 минут.

Обратный путь занимает больше времени при том же расстоянии. Проверка умножением возвращает путь: 14 × 2 = 28 км и 10 × 2,8 = 28 км.

Как найти собственную скорость и течение

Если известны скорости по течению a и против течения b, сложите их и разделите результат на два: v = (a + b)/2. Скорость течения равна половине разности: u = (a - b)/2.

Пусть лодка идёт по течению со скоростью 17 км/ч, а против течения со скоростью 11 км/ч. Собственная скорость равна (17 + 11)/2 = 14 км/ч. Скорость течения равна (17 - 11)/2 = 3 км/ч.

Проверка восстанавливает исходные данные: 14 + 3 = 17 и 14 - 3 = 11. Если восстановленные скорости не совпали, проверьте порядок вычитания.

Задачи с уравнением

Уравнение требуется, когда неизвестна собственная скорость или скорость течения, а условие сравнивает время. Обозначьте неизвестную через x и выразите время каждого участка как расстояние, делённое на соответствующую скорость.

Лодка проходит 24 км по течению на один час быстрее, чем против течения. При скорости течения 2 км/ч времена равны 24/(x + 2) и 24/(x - 2). Условие задаёт уравнение 24/(x - 2) - 24/(x + 2) = 1, причём x > 2.

После решения подставьте корень в обе скорости и оба времени. Ограничение x > 2 отсеивает значение, при котором скорость против течения равна нулю или становится отрицательной.

Частые ошибки

Скорость течения иногда прибавляют в обоих направлениях. Нарисуйте стрелку течения: совпадающие направления дают сумму, противоположные дают разность. Ещё одна ошибка появляется при сравнении времени на разных расстояниях без отдельной строки таблицы.

Не складывайте время в часах с минутами без перевода. Число 2,8 часа означает 2 часа и 0,8 × 60 = 48 минут, а не 2 часа 8 минут.

• собственная скорость не равна скорости по течению
• против течения скорость уменьшается
• плот движется со скоростью течения
• для каждого участка записан свой путь
• десятичная часть часа переведена в минуты

Проверка готового решения

Скорость по течению должна быть больше собственной, а скорость против течения меньше неё. Для одинакового пути движение против течения занимает больше времени. Эти сравнения сразу выявляют перепутанные знаки.

Подставьте найденные время и скорость в формулу s = vt для каждого участка. Затем перечитайте вопрос: задача может требовать общее время, время остановки, расстояние или одну из скоростей. Промежуточное значение не всегда служит окончательным ответом.