Как решать уравнения с модулем

Три случая и базовый алгоритм

Для уравнения |f(x)| = b сначала смотрят на правую часть. Если b < 0, решений нет: расстояние не может быть отрицательным. Если b = 0, достаточно решить f(x) = 0. Если b > 0, возникают две ветви: f(x) = b или f(x) = −b.

Когда справа стоит выражение g(x), условие g(x) ≥ 0 обязательно. Затем можно решить f(x) = g(x) и f(x) = −g(x), но каждый найденный корень надо проверить в исходной записи. Условие справа отсекает посторонние значения ещё до вычислений.

Если модулей несколько или внутри них меняется знак линейных выражений, отметьте на числовой прямой точки, где эти выражения равны нулю. На каждом промежутке раскройте модули со своим знаком, решите обычное уравнение и оставьте только корни из выбранного промежутка.

• проверить знак правой части
• найти нули выражений под модулями
• разделить решение на случаи или интервалы
• решить полученные уравнения
• проверить принадлежность интервалу
• подставить корни в исходное уравнение

Пример 1: постоянное число справа

Решим |2x − 3| = 5. Правая часть положительна, поэтому составляем две ветви. Первая: 2x − 3 = 5, откуда 2x = 8 и x = 4. Вторая: 2x − 3 = −5, откуда 2x = −2 и x = −1.

Проверка: при x = 4 получаем |8 − 3| = 5; при x = −1 получаем |−2 − 3| = 5. Оба значения подходят. Геометрически выражение 2x − 3 находится на расстоянии 5 от нуля, поэтому возможны значения 5 и −5.

Пример 2: выражение справа

Решим |x − 2| = x + 4. Сначала требуем x + 4 ≥ 0, то есть x ≥ −4. Ветвь x − 2 = x + 4 приводит к равенству −2 = 4, поэтому решений не даёт. Ветвь −(x − 2) = x + 4 даёт −x + 2 = x + 4, затем −2x = 2 и x = −1.

Число −1 удовлетворяет условию x ≥ −4. Подстановка подтверждает ответ: |−1 − 2| = 3, а −1 + 4 = 3. Без предварительного условия легко оставить значение, при котором справа получилось бы отрицательное число.

Пример 3: два модуля и интервалы

Решим |x − 1| + |x + 2| = 5. Критические точки: −2 и 1. При x < −2 оба выражения отрицательны: −(x − 1) − (x + 2) = 5, откуда −2x − 1 = 5 и x = −3. Корень принадлежит промежутку.

На отрезке −2 ≤ x < 1 сумма равна −(x − 1) + (x + 2) = 3, поэтому равенство 5 невозможно. При x ≥ 1 получаем x − 1 + x + 2 = 5, откуда 2x + 1 = 5 и x = 2. Проверка: для −3 сумма 4 + 1 = 5, для 2 сумма 1 + 4 = 5.

Ошибки, особые случаи и чек-лист

Нельзя просто убрать вертикальные черты: равенство |f| = b обычно даёт две ветви. Нельзя также автоматически писать ± для выражения справа, не проверив его неотрицательность. В методе интервалов найденный корень допустим только на том участке, для которого раскрывались знаки.

Уравнение |f(x)| = |g(x)| можно свести к f(x) = g(x) или f(x) = −g(x), потому что обе стороны уже неотрицательны. При возведении в квадрат получается равносильное равенство f² = g², но итоговую проверку всё равно полезно выполнить, особенно если были дроби или ограничения области определения.

• область определения записана
• отрицательная правая часть исключена
• учтены обе ветви
• корни соответствуют своим интервалам
• ответ проверен в исходной записи