Как решить линейное неравенство по шагам

Что называют линейным неравенством

Линейное неравенство с одной переменной после упрощения приводится к виду ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 или ax + b ≤ 0. Вместо x может стоять любая переменная, а коэффициенты a и b являются числами. Ответом обычно служит не одно значение, а целый промежуток чисел.

Строгие знаки > и < не включают граничную точку. Нестрогие знаки ≥ и ≤ включают её. Поэтому решение x > 3 изображают пустой точкой в числе 3 и лучом вправо, а решение x ≥ 3 — закрашенной точкой и таким же лучом.

Разрешено прибавлять или вычитать одно и то же число в обеих частях: знак при этом не меняется. При умножении или делении на положительное число знак также сохраняется. Переворот нужен только для отрицательного множителя или делителя.

Пошаговый алгоритм решения

Сначала раскройте скобки и приведите подобные слагаемые отдельно в каждой части. Затем перенесите слагаемые с x в одну часть, а числа — в другую. Получив неравенство вида ax > b или ax ≤ b, разделите обе части на a. Если a отрицательно, сразу замените знак на противоположный.

После преобразований запишите ответ как неравенство и, если требуется, как числовой промежуток. Для x < 4 это интервал (−∞; 4), а для x ≥ −2 — [−2; +∞). Бесконечность всегда записывается с круглой скобкой.

• раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
• собрать переменные слева, числа справа
• разделить на коэффициент и учесть его знак
• записать промежуток и проверить пробное значение

Полный пример без смены знака

Решим 3x − 7 ≤ 11. Прибавим 7 к обеим частям: 3x ≤ 18. Делим обе части на положительное число 3, поэтому знак сохраняется: x ≤ 6. В виде промежутка ответ записывается как (−∞; 6].

Проверим границу: при x = 6 получаем 3 × 6 − 7 = 11, следовательно, равенство допустимо и квадратная скобка выбрана верно. Возьмём число из промежутка, например x = 0: −7 ≤ 11 — верное утверждение. Число вне ответа x = 7 даёт 14 ≤ 11, что неверно.

Проверка двух точек полезнее одной подстановки. Граница подтверждает строгий или нестрогий знак, а значения по разные стороны от неё показывают, в каком направлении должен идти луч.

Пример с делением на отрицательное число

Решим 5 − 2x > 11. Вычтем 5 из обеих частей: −2x > 6. Теперь делим на −2 и меняем знак > на <: x < −3. Ответ: (−∞; −3). Точка −3 не входит в решение, потому что исходный знак строгий.

Почему знак переворачивается? Для чисел 2 < 5 после умножения на −1 получаем −2 > −5: порядок на числовой прямой меняется. То же происходит со всеми значениями неравенства при умножении или делении на отрицательное число.

Проверка: x = −4 подходит, поскольку 5 − 2 × (−4) = 13, а 13 > 11. Граница x = −3 даёт 11 > 11 — неверно, поэтому её нельзя включать. Значение x = 0 также не подходит: 5 > 11 неверно.

Скобки, дроби и особые ответы

В неравенстве 2(x − 3) + 5 ≥ x + 1 сначала раскроем скобки: 2x − 6 + 5 ≥ x + 1. После приведения подобных получаем 2x − 1 ≥ x + 1, затем x ≥ 2. Нельзя переносить отдельные части выражения, пока скобки раскрыты неверно.

Если переменная сократилась, ответ зависит от оставшегося числового утверждения. Например, 2(x + 1) > 2x − 3 превращается в 2 > −3, что верно всегда: подходят все действительные числа. А 3(x − 1) ≤ 3x − 5 даёт −3 ≤ −5 — неверное утверждение, поэтому решений нет.

При дробных коэффициентах можно умножить обе части на общий положительный знаменатель. Если множитель заведомо отрицательный, знак нужно изменить. На выражение с неизвестным знаком умножать без отдельного анализа нельзя: неизвестно, сохраняется ли порядок.

Типичные ошибки и надёжная проверка

Чаще всего забывают перевернуть знак после деления на отрицательное число, меняют его при обычном переносе слагаемого, путают круглую и квадратную скобки или направляют луч не в ту сторону. Ещё одна ошибка — делить только одно слагаемое, а не всю левую и правую части.

Для проверки подставьте граничное значение, одно число из полученного промежутка и одно число снаружи. Первое уточняет включение границы, второе должно давать верное утверждение, третье — неверное. Такая проверка не заменяет доказательство, но быстро обнаруживает ошибку знака или направления.

• знак меняется только при умножении или делении на отрицательное число
• для строгого неравенства граничная точка не входит в ответ
• обе части преобразуются целиком
• ответ проверяют числами по обе стороны границы