Как решить квадратное уравнение через дискриминант

1. Приведите уравнение к стандартному виду

Перенесите все слагаемые в одну часть и расположите их по степеням: ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Если какого-то слагаемого нет, соответствующий коэффициент равен нулю.

Особенно внимательно сохраняйте знаки. Например, в уравнении 2x² − 5x − 3 = 0 коэффициенты равны a = 2, b = −5 и c = −3.

2. Вычислите дискриминант

Используйте формулу D = b² − 4ac. Сначала возведите b в квадрат, затем отдельно вычислите произведение 4ac и выполните вычитание.

Знак D определяет число действительных корней: при D больше нуля их два, при D равном нулю — один, а при D меньше нуля действительных корней нет.

3. Найдите корни и проверьте подстановкой

При D больше нуля используйте x₁ = (−b + √D) / 2a и x₂ = (−b − √D) / 2a. При D = 0 достаточно формулы x = −b / 2a.

Подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение. Левая часть должна стать равной нулю; такая проверка помогает обнаружить потерянный минус или ошибку в знаменателе.

• скобки вокруг отрицательного коэффициента b сохраняют знак
• знаменатель 2a относится ко всему числителю
• ответ записывают только после независимой подстановки

Полный числовой пример

Решим x² − 5x + 6 = 0. Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Корни: x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 и x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.

Проверка подстановкой даёт 9 − 15 + 6 = 0 и 4 − 10 + 6 = 0. Оба значения подходят. Скобки вокруг отрицательного b в расчёте дискриминанта помогают не превратить b² в отрицательное число.

• выписать a, b и c со знаками
• отдельно вычислить D
• проверить каждый корень

Пример с двумя корнями и проверкой

Для x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты равны a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант D = b² − 4ac = 25 − 24 = 1. Корни: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 и x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Минус перед b учтён в формуле как −(−5) = 5.

Подстановка даёт 9 − 15 + 6 = 0 и 4 − 10 + 6 = 0. Дополнительная проверка по теореме Виета: сумма корней 5 равна −b/a, произведение 6 равно c/a. Оба условия выполняются.

• выписать коэффициенты вместе со знаками
• отдельно вычислить дискриминант
• проверить оба корня

Случаи нулевого и отрицательного дискриминанта

При D = 0 уравнение имеет один корень x = −b/(2a). При D < 0 действительных корней нет. До вывода проверьте, в каком числовом множестве решается задача: в комплексных числах отрицательный дискриминант не завершает решение.