Как решать задачи по теореме Виета

Формулы для общего и приведённого уравнения

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с a ≠ 0 и корнями x₁, x₂ выполняются равенства x₁ + x₂ = -b/a и x₁x₂ = c/a. Знак минус относится только к сумме.

Приведённое уравнение имеет вид x² + px + q = 0. Здесь сумма корней равна -p, а произведение равно q. Перед подбором корней удобно разделить исходное уравнение на a.

Если действительных корней нет, подобрать действительные числа по этим условиям не получится. Проверка дискриминанта D = b² - 4ac помогает установить число действительных корней.

Алгоритм подбора целых корней

Приведите уравнение к стандартному виду и выпишите нужную сумму и произведение. Сначала найдите пары делителей произведения, затем оставьте пару с подходящей суммой.

Положительное произведение означает одинаковые знаки корней. Отрицательное произведение означает разные знаки. Знак суммы показывает, какой знак преобладает.

• перенести все слагаемые в левую часть
• проверить коэффициент при x²
• вычислить -b/a и c/a
• перебрать пары множителей произведения
• проверить сумму
• подставить оба корня в исходное уравнение

Пример 1: подбор корней

Решим x² - 7x + 12 = 0. Сумма корней должна равняться 7, произведение должно равняться 12.

Пары положительных делителей числа 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Только 3 + 4 = 7, поэтому x₁ = 3 и x₂ = 4.

Независимая проверка: 3² - 7 × 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0; для второго корня 4² - 7 × 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0.

Неприведённое уравнение и дробные корни

В уравнении 2x² - 5x + 2 = 0 сумма корней равна 5/2, произведение равно 1. Пара 2 и 1/2 удовлетворяет обоим условиям.

Проверим: 2 × 2² - 5 × 2 + 2 = 0. Для x = 1/2 получаем 2 × 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 5/2 + 2 = 0.

Подбор целых чисел здесь не сработал бы. Деление уравнения на 2 даёт x² - 2,5x + 1 = 0 и сразу показывает дробную сумму.

Обратная теорема и составление уравнения

Обратная теорема утверждает: если два числа имеют сумму -p и произведение q, они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Составим уравнение с корнями -2 и 5. Их сумма равна 3, произведение равно -10. Коэффициент p равен -3, поэтому получаем x² - 3x - 10 = 0.

Тот же результат даёт произведение (x + 2)(x - 5) = 0. Раскрытие скобок превращает его в x² - 3x - 10 = 0 и служит отдельной проверкой.

Корни через параметры и повторный корень

Если один корень известен, второй можно найти через сумму или произведение. Для x² - 9x + 20 = 0 при x₁ = 4 второй корень равен 9 - 4 = 5; произведение 4 × 5 подтверждает число 20.

При D = 0 уравнение имеет два совпадающих корня. Например, x² - 6x + 9 = 0 даёт сумму 6 и произведение 9, поэтому оба корня равны 3.

Теорема также позволяет выразить симметричные выражения: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂. Сами корни для этого искать не требуется.

Ошибки и итоговый чек-лист

Частая ошибка состоит в потере минуса у суммы. Выпишите формулы до чисел: сумма равна -b/a, произведение равно c/a.

Не применяйте формулы приведённого уравнения к выражению с a ≠ 1 без деления коэффициентов на a. Иначе сумма и произведение изменятся.

Подбор пары подтверждает связи между коэффициентами, но подстановка в исходное уравнение защищает от ошибки при переносе слагаемых или чтении знака.

• уравнение записано как ax² + bx + c = 0
• коэффициент a не равен нулю
• минус в сумме сохранён
• учтены дробные и отрицательные пары
• число корней согласовано с дискриминантом
• каждый ответ прошёл подстановку