Как применять формулы сокращённого умножения

Основные формулы

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b². Средний член содержит удвоенное произведение двух выражений.

Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Сумма квадратов a² + b² в общем случае не раскладывается по этой формуле.

Куб суммы равен a³ + 3a²b + 3ab² + b³, куб разности равен a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Для суммы и разности кубов используют a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) и a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Как выбрать подходящую формулу

Посмотрите на внешнюю операцию. Квадрат скобки указывает на квадрат суммы или разности. Два квадратных выражения со знаком минус между ними могут образовать разность квадратов. Два куба требуют проверки знака и кубических формул.

Обозначьте сложные части буквами. В выражении (2x + 3)² роль a выполняет 2x, роль b выполняет 3. Подставлять в формулу нужно выражения целиком, включая коэффициенты и степени.

• определить внешнюю операцию
• выделить первое и второе выражение
• сопоставить знаки с формулой
• возвести коэффициенты в степень
• привести подобные слагаемые
• проверить обратным преобразованием

Пример 1: квадрат суммы

Раскроем (2x + 3)². Первое выражение равно 2x, второе равно 3. По формуле получаем (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3².

После вычисления коэффициентов выходит 4x² + 12x + 9. Частая ошибка состоит в записи 2x² вместо 4x²: квадрат относится и к числу 2, и к переменной x.

Проверим умножением скобок: (2x + 3)(2x + 3) = 4x² + 6x + 6x + 9 = 4x² + 12x + 9.

Пример 2: квадрат разности

Преобразуем (5y - 2)². Используем a² - 2ab + b²: (5y)² - 2 × 5y × 2 + 2² = 25y² - 20y + 4.

Последний член положителен, потому что квадрат числа -2 равен 4. Знак минус сохраняется только у среднего члена формулы квадрата разности.

Подставим y = 1. Исходное выражение даёт (5 - 2)² = 9. Многочлен даёт 25 - 20 + 4 = 9, поэтому преобразование прошло проверку.

Разложение на множители

Формулы работают в двух направлениях. Выражение x² - 16 содержит разность квадратов x² - 4², поэтому раскладывается как (x - 4)(x + 4).

Трёхчлен x² + 6x + 9 содержит квадраты x² и 3², а средний член равен 2 × x × 3. Значит, x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Перед разложением вынесите общий множитель. В выражении 3x² - 27 сначала вынесите 3: 3(x² - 9), затем примените разность квадратов и получите 3(x - 3)(x + 3).

Быстрые вычисления

Квадрат числа 99 удобно представить как (100 - 1)². Получаем 10000 - 200 + 1 = 9801. Формула заменяет длинное умножение короткими действиями с круглыми числами.

Произведение 47 × 53 имеет вид (50 - 3)(50 + 3). По разности квадратов результат равен 50² - 3² = 2500 - 9 = 2491.

Выбирайте ближайшее круглое число так, чтобы множители стали симметричными. Несимметричные числа требуют обычного распределительного закона или другого преобразования.

Частые ошибки

В квадрате суммы теряют средний член, в квадрате разности делают отрицательным последний квадрат, а в разности квадратов записывают две одинаковые скобки. Каждую ошибку обнаруживает раскрытие полученных скобок.

Нельзя применять разность квадратов к сумме a² + b². Также нельзя считать (a + b)² равным a² + b²: при умножении двух скобок появляется 2ab.

• средний член содержит множитель 2
• последний член квадрата разности положителен
• коэффициент возведён в степень
• в разности квадратов знаки скобок разные
• после раскрытия выполнено приведение подобных

Как проверить преобразование

Раскройте скобки распределительным законом и сравните коэффициенты. Второй способ состоит в подстановке удобного значения переменной, например 0, 1 или -1. Исходное и преобразованное выражения должны дать одно число.

Одна подстановка не доказывает тождество, но быстро выявляет многие ошибки в знаках. Для полной алгебраической проверки выполните обратное преобразование или сравните коэффициенты при одинаковых степенях переменной.