Как найти среднюю скорость на всём пути

Главная формула и порядок решения

Формула средней путевой скорости имеет вид vср = Sобщ/tобщ. В числителе стоит сумма путей всех участков, в знаменателе - сумма времени движения и остановок, если задача описывает всю поездку. Путь измеряют в километрах или метрах, время в часах или секундах.

Составьте таблицу с тремя строками: путь S, время t и скорость v. Для каждого участка найдите недостающую величину по формулам S = vt или t = S/v. После этого отдельно сложите пути и времена. Делить нужно только итоговые суммы.

Перед расчётом приведите единицы к одной системе. Если путь дан в километрах, а скорость в километрах в час, минуты переведите в часы: 15 минут = 0,25 часа, 30 минут = 0,5 часа. Смешение минут и часов искажает ответ в 60 раз.

• выписать участки
• найти путь каждого участка
• найти время каждого участка
• учесть остановки
• согласовать единицы
• разделить общий путь на общее время

Пример 1: два участка с разной скоростью

Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч, затем 180 км со скоростью 90 км/ч. На первом участке t₁ = 120/60 = 2 часа. На втором участке t₂ = 180/90 = 2 часа. Общий путь равен 300 км, общее время равно 4 часам.

Средняя скорость vср = 300/4 = 75 км/ч. Здесь тот же результат даёт среднее арифметическое (60 + 90)/2 = 75, потому что времена участков равны. Проверка: 75 км/ч лежит между 60 и 90 км/ч, а произведение 75·4 возвращает общий путь 300 км.

Пример 2: равные расстояния

Пусть машина проехала 60 км со скоростью 60 км/ч и ещё 60 км со скоростью 40 км/ч. Время первого участка равно 1 часу, второго - 1,5 часа. Весь путь составляет 120 км, всё время - 2,5 часа.

Получаем vср = 120/2,5 = 48 км/ч. Среднее арифметическое скоростей даёт 50 км/ч и не подходит: на медленном участке машина провела больше времени. Для двух равных путей можно проверить ответ формулой 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2·60·40/100 = 48 км/ч.

Остановки, равные времена и движение туда-обратно

Если автобус ехал 2 часа, стоял 30 минут и затем ехал ещё 1 час, полное время поездки равно 3,5 часа. Во время остановки путь не увеличивается, но время входит в знаменатель. Исключить стоянку можно только при прямой формулировке о средней скорости во время движения.

При равных временах средняя скорость действительно равна среднему арифметическому. Если объект ехал по часу со скоростями 40 и 70 км/ч, он прошёл 110 км за 2 часа, поэтому vср = 55 км/ч. При поездке туда и обратно расстояния равны, а времена обычно различаются, поэтому используют общий путь или формулу для равных расстояний.

Ошибки, ограничения и чек-лист

Не усредняйте числа до того, как выясните длительность участков. Не складывайте скорость с временем или путь со скоростью. В ответе обязательно укажите единицу. Средняя путевая скорость не может быть выше наибольшей скорости движения, если в условии нет перемещения среды или другой системы отсчёта.

В физике различают среднюю путевую скорость и среднюю скорость как вектор перемещения, делённый на время. При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, хотя путь положителен. В типичной текстовой задаче словами средняя скорость называют именно скалярную путевую величину, но формулировку следует прочитать точно.

• весь путь сложен
• всё время сложено
• остановки учтены
• единицы одинаковы
• ответ между крайними скоростями
• путь не спутан с перемещением