Как решать рациональные неравенства

Алгоритм без опасного умножения

Перенесите все слагаемые в одну сторону и приведите их к общей дроби. Справа должен остаться ноль. Не умножайте обе части на знаменатель с переменной: его знак неизвестен, поэтому неизвестно, надо ли менять знак неравенства.

Разложите числитель и знаменатель на множители. Нули числителя и запрещённые нули знаменателя образуют критические точки. Расположите их по возрастанию. Точку знаменателя всегда выколите; ноль числителя можно включить только при знаках ≥ или ≤.

Определите знак на каждом промежутке подстановкой удобного числа. Если все множители линейны и имеют нечётную степень, знак меняется при переходе через каждую точку. У множителя чётной степени знак не меняется. Выберите интервалы с требуемым знаком и запишите их объединение.

• свести к одной дроби и нулю справа
• найти нули числителя и знаменателя
• отметить запреты ОДЗ
• учесть кратность множителей
• выбрать интервалы
• проверить точки в исходном условии

Пример 1: ноль числителя и запрет знаменателя

Решим (x − 2)/(x + 1) ≥ 0. Критические точки: x = 2 обращает числитель в ноль, x = −1 обращает знаменатель в ноль. Получаем интервалы (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞).

При x = −2 дробь (−4)/(−1) положительна. При x = 0 она равна −2 и отрицательна. При x = 3 получаем 1/4, то есть положительное значение. Нужны положительные значения и ноль: ответ (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Число −1 исключено при любом знаке, а 2 включено благодаря ≥.

Проверка в исходной дроби подтверждает границы: при x = 2 значение равно нулю, а при x = −1 выражение не определено.

Пример 2: сначала собрать дробь

Решим 1/(x − 3) < 1. Переносим единицу: 1/(x − 3) − 1 < 0. Общий знаменатель даёт (1 − x + 3)/(x − 3) < 0, то есть (4 − x)/(x − 3) < 0. Критические точки равны 3 и 4.

При x = 0 числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. При x = 3,5 оба выражения положительны, результат положителен. При x = 5 числитель отрицателен, знаменатель положителен, результат отрицателен. Ответ: (−∞; 3) ∪ (4; +∞).

Ноль числителя x = 4 не входит из-за строгого знака. Проверка исходного неравенства: при x = 0 имеем −1/3 < 1, при x = 5 имеем 1/2 < 1, а x = 3 запрещён.

Кратные корни и сокращение дроби

В неравенстве (x − 1)²(x + 2) ≤ 0 знак не меняется в точке 1, потому что квадрат неотрицателен по обе стороны. Он меняется в точке −2. Поэтому механическая «змейка» без учёта степеней приводит к ошибке.

Если одинаковый множитель сокращается, его бывший ноль всё равно остаётся запретом исходного выражения, когда он находился в знаменателе. Например, (x − 2)/(x − 2) > 0 равно единице только при x ≠ 2. Ответ — вся числовая прямая, кроме 2, а не все действительные числа.

Ошибки и контроль ответа

Главные ошибки: потерять ОДЗ, включить ноль знаменателя, неверно привести к общему знаменателю или менять знак по очереди без проверки кратности. Скобки в ответе показывают не оформление, а допустимость границы.

Возьмите по одному числу из каждого выбранного и одного отвергнутого интервала. Подставляйте их в исходное неравенство. Затем отдельно проверьте все границы: нули знаменателя исключены, нули числителя согласованы со строгим или нестрогим знаком.

• общий знаменатель записан верно
• запреты исходного ОДЗ сохранены
• чётные степени не меняют знак
• строгие границы выколоты
• контрольные числа подставлены в исходную запись