Как решать квадратные неравенства

Алгоритм метода интервалов

Перенесите все части влево, чтобы справа остался ноль. Если перед x² стоит отрицательное число, можно умножить всё неравенство на −1, но знак сравнения обязательно сменится. После этого решите уравнение ax² + bx + c = 0 и расположите найденные корни по возрастанию на числовой прямой.

Корни делят прямую на промежутки. На каждом из них знак квадратного трёхчлена постоянен. Его можно определить подстановкой одной удобной точки. При двух разных корнях и a > 0 знак снаружи положительный, а между корнями отрицательный; при a < 0 картина обратная.

Для строгих знаков > и < корни не входят в ответ и отмечаются пустыми точками. Для ≥ и ≤ корни включают, потому что в них выражение равно нулю. Ответ записывают объединением подходящих промежутков, а не набором отдельных пробных значений.

• привести выражение к сравнению с нулём
• найти корни соответствующего уравнения
• разбить прямую корнями
• определить знак на каждом промежутке
• учесть строгость знака
• записать ответ промежутками

Пример 1: два различных корня

Решим x² − 5x + 6 < 0. Разложение на множители даёт (x − 2)(x − 3) < 0, поэтому граничные точки равны 2 и 3. На промежутке x < 2 оба множителя отрицательны и произведение положительно. Между 2 и 3 первый множитель положителен, второй отрицателен, значит произведение отрицательно. После 3 оба множителя положительны.

Нужен отрицательный знак, поэтому ответ: (2; 3). Точки 2 и 3 не входят из-за строгого знака. Независимая проверка: x = 2,5 даёт 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25, условие выполнено; x = 0 даёт 6, поэтому внешняя область действительно не подходит.

Пример 2: нестрогое неравенство

Решим −2x² + 8x − 6 ≥ 0. Умножаем на −1 и меняем знак: 2x² − 8x + 6 ≤ 0. Делим на 2: x² − 4x + 3 ≤ 0. Получаем (x − 1)(x − 3) ≤ 0; корни 1 и 3.

Парабола с положительным старшим коэффициентом не выше оси между корнями. Ответ: [1; 3]. Скобки квадратные, потому что равенство разрешено. Проверка x = 2 в исходном выражении даёт −8 + 16 − 6 = 2 ≥ 0, а x = 4 даёт −32 + 32 − 6 = −6, поэтому число 4 не подходит.

Один корень, нет корней и нулевой коэффициент

Если дискриминант равен нулю, трёхчлен касается оси в одной точке и знак при переходе через неё не меняется. Например, (x − 4)² > 0 выполняется для всех действительных x, кроме 4; неравенство (x − 4)² < 0 решений не имеет.

При отрицательном дискриминанте корней нет, а знак везде совпадает со знаком a. Поэтому x² + x + 1 > 0 верно при любом x: D = 1 − 4 = −3, a > 0. Если a = 0, выражение уже не квадратное; его следует решать как линейное неравенство.

Типичные ошибки и итоговая проверка

Нельзя выбирать ответ только по рисунку параболы, если старший коэффициент или корни определены неверно. Особенно часто теряется смена знака при умножении на отрицательное число. Ещё одна ошибка — автоматически включать корни в ответ: это допустимо только при ≥ или ≤.

После решения возьмите по одному числу из выбранной и отброшенной областей и подставьте в исходное, а не преобразованное выражение. Проверьте порядок концов промежутка, круглые или квадратные скобки и знак объединения. Такой контроль обнаруживает большинство ошибок без полного повторения решения.

• справа стоит ноль
• знак при умножении на −1 изменён
• все действительные корни учтены
• границы включены только при нестрогом знаке
• точки из двух областей проверены в исходном условии