Как решать задачи на касательную к окружности
Касательная имеет с окружностью одну общую точку. Радиус, проведённый в эту точку, образует с касательной прямой угол и часто превращает чертёж в прямоугольный треугольник.
Три свойства и порядок решения
Пусть прямая касается окружности с центром O в точке T. Радиус OT перпендикулярен касательной. Верно и обратное: если прямая проходит через точку T окружности и перпендикулярна OT, то эта прямая является касательной.
Из внешней точки P к одной окружности можно провести две касательные PA и PB. Их отрезки равны: PA = PB. Если через P проведена секущая, которая встречает окружность сначала в C, затем в D, то квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую: PA² = PC·PD.
Отметьте центр, точку касания и прямой угол. Затем выберите прямоугольный треугольник либо равенство отрезков. Для задачи с секущей различайте PC и PD: первая длина идёт до ближайшей точки окружности, вторая охватывает весь отрезок от P до дальней точки.
- найти точку касания
- провести радиус к ней
- поставить прямой угол
- выбрать теорему Пифагора или PA² = PC·PD
- решить уравнение
- проверить положительность длины
Пример 1: длина касательной через радиус
Расстояние от внешней точки P до центра O равно 13 см, радиус окружности равен 5 см. Отрезок PT касается окружности в точке T. Треугольник OPT прямоугольный, потому что OT перпендикулярен PT.
По теореме Пифагора PT² = OP² − OT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Значит, PT = 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Второй касательный отрезок из точки P тоже равен 12 см.
Пример 2: касательная и секущая
Из точки P проведены касательная PT и секущая PCD. Внешняя часть PC равна 4 см, вся секущая PD равна 9 см. Применяем равенство PT² = PC·PD: PT² = 4·9 = 36.
Длина не бывает отрицательной, поэтому PT = 6 см. Независимая проверка через внутреннюю часть CD: она равна 9 − 4 = 5 см, а вся секущая действительно равна PC + CD = 4 + 5 = 9 см. Подстановка снова даёт 6² = 4·9.
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Если дуга содержит 80°, соответствующий угол между касательной и хордой равен 40°.
Следите за выбранной дугой. Для меньшего угла между прямыми обычно берут меньшую дугу. Если в условии дан угол при центре, вписанный угол на той же дуге вдвое меньше. Свойство помогает перейти от касательной к обычным углам окружности.
Ошибки, ограничения и чек-лист
Не проводите радиус перпендикулярно касательной в произвольной точке: прямой угол возникает в точке касания. В равенстве для секущей умножают внешнюю часть на всю секущую, а не на внутреннюю часть. После извлечения квадратного корня оставляют положительную длину.
Прямая, пересекающая окружность в двух точках, является секущей. Прямая без общих точек не становится касательной. На готовом чертеже проверьте одну общую точку, прямой угол при конце радиуса и согласованность всех отрезков.
- прямой угол стоит в точке касания
- равные касательные выходят из одной точки
- взята вся секущая PD
- длина получилась положительной
- ответ совпадает с условием чертежа
Продолжить разбор
Связанные страницы помогут выбрать подходящий способ работы с заданием.
Частые вопросы
Какой угол образуют радиус и касательная?
Прямой угол 90°, если радиус проведён в точку касания.
Равны ли две касательные из одной точки?
Да, их отрезки от внешней точки до точек касания равны.
Как найти касательную через расстояние до центра?
Используйте PT = √(OP² − R²), если P находится вне окружности.
Как связаны касательная и секущая?
Квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.
Сколько общих точек у касательной и окружности?
Одна, её называют точкой касания.
Как найти угол между касательной и хордой?
Он равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу.
Сложное задание? Давайте разберём
Отправьте фотографию или текст и получите понятное объяснение удобным для вас способом.