Как решать иррациональные уравнения

Алгоритм для квадратного корня

Начните с области допустимых значений. Для каждого выражения √f(x) требуется f(x) ≥ 0. Если корень уже изолирован и равен g(x), добавьте условие g(x) ≥ 0: арифметический квадратный корень не бывает отрицательным.

Оставьте один радикал в одной части уравнения, остальные слагаемые перенесите в другую и только потом возводите обе части в квадрат. Раскройте скобки, решите полученное рациональное уравнение. Если корни остались, повторите изоляцию и возведение в квадрат.

Каждое возведение в чётную степень является переходом к следствию. Итоговые значения подставьте именно в исходное уравнение, а не в последнее квадратное. Проверка одновременно отсеивает нарушение знака, области определения и ошибки преобразований.

• записать область допустимых значений
• изолировать один корень
• проверить знак второй части
• возвести обе части в квадрат
• решить полученное уравнение
• подставить кандидатов в исходную запись

Пример 1: посторонний корень после возведения в квадрат

Решим √(x + 5) = x − 1. Подкоренное выражение требует x ≥ −5, а правая часть должна быть неотрицательной, поэтому x ≥ 1. Возводим в квадрат: x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1. Получаем x² − 3x − 4 = 0.

Разложение (x − 4)(x + 1) = 0 даёт кандидаты 4 и −1. Число −1 нарушает условие x ≥ 1 и при подстановке даёт √4 = −2, что неверно. Для x = 4 получаем √9 = 3 и 4 − 1 = 3. Ответ: x = 4.

Пример 2: уравнение с двумя корнями

Решим √(x + 4) + √(x − 1) = 5. Область определения задаёт x ≥ 1. Изолируем первый корень: √(x + 4) = 5 − √(x − 1). После возведения в квадрат получаем x + 4 = 25 − 10√(x − 1) + x − 1.

Сокращаем x и переносим числа: 10√(x − 1) = 20, значит √(x − 1) = 2. Ещё одно возведение в квадрат даёт x − 1 = 4 и x = 5. Проверка в исходном уравнении: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Других кандидатов не появилось.

Другие степени и рационализация

Для корня нечётной степени, например ∛f(x), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Возведение обеих частей в третью степень сохраняет равносильность. Для квадратного корня ограничения остаются обязательными.

Иногда помогает замена t = √f(x), где t ≥ 0, или умножение на сопряжённое выражение. Такой приём сокращает число повторных возведений в квадрат. Выбирайте преобразование, которое оставляет уравнение низкой степени и сохраняет видимые ограничения.

Ошибки и итоговый чек-лист

Нельзя заменять √(a + b) на √a + √b: такого свойства нет. При возведении суммы в квадрат используйте формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Не теряйте знак правой части после изоляции корня.

Если ответ выглядит громоздко, это ещё не признак ошибки. Проверьте кандидата численно и алгебраически. Значения под корнями должны быть неотрицательными, а обе части исходного уравнения должны совпасть.

• все подкоренные выражения допустимы
• корень изолирован до возведения в квадрат
• квадрат суммы раскрыт полностью
• посторонние решения удалены
• проверка выполнена в исходном уравнении