Как работать с арифметическим квадратным корнем

Определение квадратного корня

Равенство √25 = 5 верно, потому что 5 ≥ 0 и 5² = 25. Число -5 тоже имеет квадрат 25, но знак √ обозначает именно неотрицательное значение.

Поэтому √0 = 0, √1 = 1, √49 = 7. Для отрицательного подкоренного числа арифметический квадратный корень в действительных числах не определён.

Не путайте значение выражения и решение уравнения. Выражение √9 равно 3, а уравнение x² = 9 имеет два решения: x = 3 и x = -3.

Алгоритм вычисления и проверки

Проверьте знак подкоренного выражения. Затем найдите неотрицательное число, квадрат которого даёт исходное значение, или разложите число на удобные множители.

После вычисления возведите ответ в квадрат и проверьте, что он неотрицателен. Для буквенного выражения отдельно запишите допустимые значения переменной.

• найти подкоренное выражение
• проверить условие a ≥ 0
• выделить полный квадрат
• применить подходящее свойство
• сохранить неотрицательный знак результата
• проверить ответ возведением в квадрат

Таблица квадратов и оценка

Полезно знать квадраты чисел от 1 до 20: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и далее. Они помогают узнавать точные корни.

Если число не является полным квадратом, оцените результат между соседними целыми. Поскольку 36 < 50 < 49, получаем 6 < √50 < 7.

Для десятичной оценки используйте калькулятор после определения диапазона. Предварительная оценка помогает заметить ошибку при вводе.

Корень из произведения и дроби

Для неотрицательных a и b выполняется √(ab) = √a × √b. Например, √(9 × 4) = 3 × 2 = 6.

Для дроби при a ≥ 0 и b > 0 верно √(a/b) = √a/√b. Пример: √(49/64) = 7/8.

Свойство не распространяется на сумму: √(a + b) обычно не равно √a + √b. Например, √(9 + 16) = 5, а 3 + 4 = 7.

Вынос множителя из-под корня

Разложите подкоренное число на полный квадрат и оставшийся множитель: √72 = √(36 × 2) = 6√2.

Выбирайте наибольший удобный квадратный множитель. Разложение 72 = 9 × 8 тоже верно, но после первого шага выражение 3√8 ещё можно упростить.

Обратное действие вносит неотрицательный множитель под корень: 4√3 = √(16 × 3) = √48.

Почему √(a²) равно |a|

Квадрат числа a неотрицателен, а арифметический корень должен дать неотрицательный результат. Поэтому √(a²) = |a|.

Если a = -5, то √(a²) = √25 = 5, а не -5. Формула √(a²) = a верна только при дополнительном условии a ≥ 0.

Для выражения √((x - 2)²) результат равен |x - 2|. Раскрывать модуль можно после анализа знака x - 2.

Область допустимых значений

В действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для √(x - 3) условие x - 3 ≥ 0, значит, x ≥ 3.

Если корень находится в знаменателе, требуется строгое неравенство: в выражении 1/√(x - 3) знаменатель не может быть нулём, поэтому x > 3.

Условия записывают до преобразований. Иначе можно получить формулу, которая выглядит верно, но используется при запрещённых значениях.

Полный разбор выражения

Упростим √180. Разложим число: 180 = 36 × 5. Оба множителя неотрицательны, поэтому применяем свойство корня из произведения.

Получаем √180 = √36 × √5 = 6√5. Число 5 не содержит квадратного множителя больше 1, дальнейшее упрощение невозможно.

Проверка: (6√5)² = 36 × 5 = 180. Значение 6√5 положительно, что соответствует определению арифметического корня.

Частые ошибки и самопроверка

Часто перед √a ставят знак ±, извлекают корень из каждого слагаемого суммы или заменяют √(a²) на a без проверки знака.

Разделяйте три задачи: вычислить значение корня, упростить выражение и решить уравнение. Знак ± появляется при решении некоторых уравнений, но не входит в значение символа √.

• подкоренное выражение неотрицательно
• результат корня неотрицателен
• свойство не применено к сумме
• модуль сохранён в √(a²)
• ограничение знаменателя записано