Как применять закон сохранения механической энергии

Виды механической энергии

Кинетическая энергия движущегося тела равна Eₖ = mv²/2. Гравитационная потенциальная энергия около поверхности Земли равна Eₚ = mgh. Нулевой уровень высоты можно выбрать там, где удобно сравнивать состояния.

Сжатая или растянутая пружина хранит потенциальную энергию Eₚр = kx²/2. Жёсткость k измеряют в Н/м, деформацию x переводят в метры.

Полная механическая энергия представляет сумму подходящих видов. Для груза на пружине могут одновременно присутствовать движение, высота и деформация.

Когда энергия сохраняется

Равенство E₁ = E₂ применяют, если работу совершают силы тяжести и упругости, а трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь. Эти силы переводят энергию из одного механического вида в другой.

При наличии трения механическая энергия уменьшается. Тогда в уравнение добавляют работу внешних или неконсервативных сил: E₂ - E₁ = A. Для силы трения на прямом участке Aтр = -Fтрs.

• выбрать тело или систему тел
• назвать начальное и конечное состояния
• отметить трение и внешние силы
• задать один уровень нулевой высоты
• записать виды энергии в каждом состоянии
• проверить единицы СИ

Пример 1: скорость при падении

Мяч отпускают без начальной скорости с высоты 5 м. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, g = 10 м/с². Найдём скорость у земли.

Наверху энергия равна mgh, поскольку скорость нулевая. У земли выбран h = 0, поэтому остаётся mv²/2. Запишем mgh = mv²/2 и сократим массу.

Получаем v = √(2gh) = √(2 × 10 × 5) = 10 м/с. Проверка размерности: произведение gh имеет единицу м²/с², после корня получается м/с.

Пример 2: энергия пружины

Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 10 см и разгоняет брусок массой 0,5 кг по гладкой горизонтальной поверхности. Найдём скорость после распрямления.

Переведём деформацию: x = 0,10 м. Начальная энергия пружины равна kx²/2, конечная кинетическая энергия равна mv²/2. Из kx²/2 = mv²/2 следует v = x√(k/m).

Подставим числа: v = 0,10 × √(200/0,5) = 0,10 × √400 = 2 м/с. Независимая проверка: пружина запасла 200 × 0,10²/2 = 1 Дж, а брусок получил 0,5 × 2²/2 = 1 Дж.

Задача с трением

Брусок массой 2 кг скользит со скоростью 6 м/с и останавливается на горизонтальной поверхности. Его начальная кинетическая энергия равна 2 × 6²/2 = 36 Дж.

Если сила трения постоянна и равна 4 Н, она совершает работу -4s. Конечная энергия равна нулю, поэтому 0 - 36 = -4s. Путь до остановки s = 9 м.

В такой задаче механическая энергия не сохраняется: 36 Дж переходят во внутреннюю энергию тел. Баланс энергии остаётся способом контроля знака и результата.

Как составить уравнение по состояниям

Сделайте две колонки: «начало» и «конец». Для каждой запишите только ненулевые слагаемые mv²/2, mgh и kx²/2. Это снижает риск добавить скорость покоящемуся телу или высоту на выбранном нулевом уровне.

Массу можно сокращать лишь тогда, когда она входит множителем во все слагаемые. В задаче с пружиной член kx²/2 массы не содержит, поэтому преждевременное сокращение испортит уравнение.

После решения оцените направление изменения. При падении высота уменьшается, скорость растёт. При подъёме без начального источника энергии скорость должна уменьшаться.

Ошибки и итоговая проверка

Квадраты скорости и деформации часто теряют при преобразовании. Подставьте найденное значение обратно и сравните энергии в джоулях.

Сантиметры в формуле пружины нужно перевести в метры до возведения в квадрат. Ошибка в десять раз по длине даёт ошибку в сто раз по энергии.

Один и тот же уровень высоты действует во всех состояниях. Смена нуля между строками создаёт ложную разность потенциальных энергий.

• границы системы заданы
• трение учтено работой со знаком минус
• скорость и деформация возведены в квадрат
• килограммы, метры и секунды приведены к СИ
• масса сокращена только в общих множителях
• энергетический баланс совпал в джоулях