Как решать тригонометрические уравнения

Базовые формулы и порядок решения

Для sin x = a решения существуют только при |a| ≤ 1. Их можно записать одной формулой x = (−1)ⁿarcsin a + πn, n ∈ Z. Для cos x = a используют x = ±arccos a + 2πn. Уравнение tg x = a имеет решения x = arctg a + πn.

Сначала упростите выражение тождествами, разложением на множители или заменой переменной. Получите одно или несколько простейших уравнений. Запишите все серии корней с целым параметром n. Если дан промежуток, подставьте подходящие целые n и проверьте границы.

Перед делением на sin x или cos x рассмотрите случай, когда делитель равен нулю. Иначе можно потерять решения. После возведения в квадрат или замены вернитесь к исходному уравнению и проверьте найденные серии.

• свести уравнение к одной функции
• учесть диапазон sin и cos
• решить простейшие уравнения
• записать периодические серии
• отобрать корни на промежутке
• проверить исходное равенство

Пример 1: простейшее уравнение с синусом

Решим 2sin x − 1 = 0. Переносим единицу и делим на 2: sin x = 1/2. На единичной окружности синус равен 1/2 при углах π/6 и 5π/6 за один полный оборот.

Общее решение: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, где n ∈ Z. Проверка для обеих серий одинакова: синус имеет период 2π и в базовых точках равен 1/2, поэтому 2·1/2 − 1 = 0.

Пример 2: замена переменной

Решим 2cos²x − 3cos x + 1 = 0. Вводим y = cos x и получаем квадратное уравнение 2y² − 3y + 1 = 0. Разложение (2y − 1)(y − 1) = 0 даёт y = 1/2 или y = 1. Оба значения лежат на отрезке [−1; 1].

Из cos x = 1/2 получаем x = ±π/3 + 2πn. Из cos x = 1 получаем x = 2πn. Независимая проверка: при cos x = 1/2 исходная левая часть равна 2·1/4 − 3·1/2 + 1 = 0; при cos x = 1 получаем 2 − 3 + 1 = 0.

Отбор корней на промежутке

Пусть для первого примера нужно найти x на [0; 2π). Из серии π/6 + 2πn подходит только n = 0, то есть π/6. Из второй серии при n = 0 получаем 5π/6. Значения с n = −1 отрицательны, а с n = 1 превышают правую границу.

Следите за видом промежутка. На [0; 2π] точки 0 и 2π обе включены, хотя соответствуют одной точке окружности. На полуинтервале [0; 2π) значение 2π исключают. Ответ должен соблюдать исходные скобки.

Ошибки, ограничения и чек-лист

Для sin x = 2 и cos x = −1,4 действительных решений нет. Нельзя забывать целый параметр n: одна точка на окружности не описывает все углы. У тангенса период π, а у синуса и косинуса — 2π.

При разложении на множители приравняйте к нулю каждый множитель. При делении на тригонометрическую функцию отдельно проверьте её нули. После отбора подставьте значения в исходную запись, особенно если использовали квадрат или дробь.

• значение функции допустимо
• все множители рассмотрены
• период выбран верно
• параметр n целый
• границы промежутка учтены
• корни проверены