Как решать логарифмические уравнения

Область допустимых значений

Для logₐf(x) аргумент должен быть положительным: f(x) > 0. Основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1. Если основание содержит x, все три ограничения входят в ОДЗ.

ОДЗ записывают до применения свойств логарифмов. Равенство logₐf(x) = logₐg(x) позволяет приравнять аргументы лишь там, где оба выражения положительны.

Корень преобразованного уравнения остаётся кандидатом. Подстановка в исходную строку обнаруживает нулевой аргумент, отрицательное число или запрещённое основание.

Рабочий алгоритм

Выпишите ограничения для каждого логарифма и найдите их пересечение. Приведите выражения к одному основанию, сверните сумму или разность, затем получите обычное уравнение.

Решите его, пересеките ответы с ОДЗ и подставьте оставшиеся значения в исходную запись.

• записать ОДЗ
• выбрать общее основание
• применить свойства
• решить обычное уравнение
• отбросить запрещённые значения
• выполнить подстановку

Пример 1: равные основания

Решим log₂(x - 1) = log₂(7 - x). ОДЗ: x - 1 > 0 и 7 - x > 0, поэтому 1 < x < 7.

Приравниваем аргументы: x - 1 = 7 - x. Получаем 2x = 8 и x = 4.

Проверка: оба аргумента при x = 4 равны 3. Число входит в интервал (1; 7), поэтому корень подходит.

Пример 2: сумма логарифмов

Решим log₃x + log₃(x - 2) = 1. ОДЗ даёт x > 2.

Свернём сумму: log₃[x(x - 2)] = 1. Тогда x(x - 2) = 3, откуда x² - 2x - 3 = 0.

Корни равны 3 и -1. ОДЗ оставляет x = 3. Подстановка даёт log₃3 + log₃1 = 1.

Разные основания и замена

В уравнении log₂x + log₄x = 6 используем log₄x = 1/2 log₂x. При x > 0 получаем 3/2 log₂x = 6, затем log₂x = 4 и x = 16.

Если уравнение содержит квадрат одного логарифма, вводят t = logₐf(x). После решения уравнения относительно t возвращаются к простым логарифмическим уравнениям.

Формула перехода logₐb = log_cb/log_ca требует допустимых оснований; знаменатель не равен нулю.

Ошибки и чек-лист

Сумма logₐu + logₐv равна logₐ(uv), а не logₐ(u + v). Разность соответствует частному.

Нельзя сокращать одинаковые логарифмы до проверки существования. Уравнение аргументов может дать значения вне ОДЗ.

Основание от 0 до 1 влияет на неравенства, но не мешает приравнять допустимые аргументы в уравнении.

• ОДЗ полна
• аргументы положительны
• основания допустимы
• свойства применены верно
• кандидаты проверены
• ответ записан без посторонних корней