Как построить график квадратичной функции

Как коэффициенты меняют параболу

Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 вниз. Чем больше модуль a, тем уже выглядит парабола в одном масштабе.

Свободный член c даёт точку пересечения с осью Oy: при x = 0 значение y равно c. Коэффициент b вместе с a определяет положение оси симметрии и вершины.

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой x = x₀. Точки с абсциссами x₀ - d и x₀ + d имеют одинаковые значения функции.

Алгоритм построения

Сначала определите направление ветвей по знаку a. Затем найдите абсциссу вершины x₀ = -b/(2a) и вычислите y₀ подстановкой x₀ в функцию.

Решите уравнение ax² + bx + c = 0, чтобы найти пересечения с Ox. Отметьте точку (0; c), выберите дополнительные значения x по обе стороны оси симметрии и соедините точки плавной линией.

• проверить, что a не равно нулю
• указать направление ветвей
• найти вершину (x₀; y₀)
• провести ось x = x₀
• найти нули и точку на Oy
• добавить симметричные контрольные точки

Пример 1: две точки пересечения с Ox

Построим y = x² - 4x + 3. Здесь a = 1, поэтому ветви направлены вверх. Абсцисса вершины x₀ = 4/2 = 2, а y₀ = 2² - 4 × 2 + 3 = -1. Вершина равна (2; -1).

Нули найдём из x² - 4x + 3 = 0. Разложение (x - 1)(x - 3) даёт x = 1 и x = 3. Парабола пересекает Ox в точках (1; 0) и (3; 0), симметричных относительно x = 2.

При x = 0 получаем y = 3. Симметричная ей точка относительно оси имеет x = 4 и то же y = 3. Пять точек задают уверенный эскиз.

Пример 2: ветви направлены вниз

Для y = -2x² + 4x + 6 коэффициент a отрицателен. Ветви направлены вниз. Абсцисса вершины x₀ = -4/(2 × -2) = 1, ордината y₀ = -2 + 4 + 6 = 8.

Решим -2x² + 4x + 6 = 0. После деления на -2 получаем x² - 2x - 3 = 0, откуда x = -1 и x = 3. Ось x = 1 проходит посередине между корнями.

Проверка точки на Oy: c = 6, значит график проходит через (0; 6). Симметричная точка (2; 6) тоже удовлетворяет формуле: -8 + 8 + 6 = 6.

Сколько пересечений с осью Ox

Количество пересечений зависит от дискриминанта D = b² - 4ac. При D > 0 квадратное уравнение имеет два действительных корня, и парабола дважды пересекает Ox.

При D = 0 один корень совпадает с абсциссой вершины, поэтому парабола касается Ox. При D < 0 действительных корней нет и график не пересекает ось.

Отсутствие корней не мешает построению. Найдите вершину, точку на Oy и пары симметричных точек.

Вершинная форма и сдвиги

Запись y = a(x - m)² + n сразу показывает вершину (m; n) и ось x = m. Например, y = 3(x + 2)² - 5 имеет вершину (-2; -5) и ветви вверх.

Знак внутри скобки читают противоположно: x + 2 равно x - (-2). Для контрольных точек возьмите x = -1 и x = -3. Обе дают y = -2.

Разложение в вершинную форму помогает построить график без решения квадратного уравнения, но пересечения с Ox всё равно требуют вычисления, если они нужны в задаче.

Ошибки и проверка графика

В формуле вершины знаменатель равен 2a целиком. Ошибка в знаке b переносит ось симметрии на другую сторону. Запишите a и b отдельной строкой перед расчётом.

Не соединяйте точки ломаной. Парабола проходит плавно и симметрично. Сравните пары точек на одинаковом расстоянии от x₀: их ординаты должны совпасть.

Подставьте вершину и каждую отмеченную точку в исходную формулу. Затем сопоставьте направление ветвей со знаком a, точку на Oy со значением c и число пересечений с Ox со знаком дискриминанта.

• ветви согласованы со знаком a
• вершина лежит на оси симметрии
• точка (0; c) отмечена верно
• нули удовлетворяют квадратному уравнению
• симметричные точки имеют равные y
• линия проведена плавно