Как раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

Что происходит при раскрытии скобок

Раскрыть скобки — значит записать равное выражение без этих скобок. Если перед ними стоит плюс, знаки внутри сохраняются: a + (b − c) = a + b − c. Если стоит минус, знак каждого слагаемого меняется: a − (b − c) = a − b + c.

Минус перед скобками можно понимать как умножение на −1. Поэтому он относится не только к первому, а ко всем слагаемым внутри. В записи 7 − (2x − 5 + y) после раскрытия получится 7 − 2x + 5 − y.

Когда перед скобками стоит число или одночлен, применяется распределительное свойство: множитель умножают на каждое слагаемое. Например, 3(2x − 4) = 6x − 12, а −2(3x − 5) = −6x + 10.

Какие слагаемые называются подобными

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с теми же степенями. Слагаемые 4x и −7x подобны, как и 3ab² и 5ab². Но 3x и 3x², а также 2ab и 2a не являются подобными.

Чтобы привести подобные слагаемые, сложите их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставьте без изменения: 4x − 7x = (4 − 7)x = −3x. Свободные числа объединяются отдельно: 8 − 11 = −3.

Удобно подчёркивать группы разными линиями: все слагаемые с x одной, с y другой, числа третьей. При этом каждое слагаемое переписывают вместе со знаком перед ним.

Пошаговый алгоритм

Определите, что стоит перед каждой скобкой. Раскройте скобки слева направо, явно умножая внешний множитель на каждый внутренний член. Только после этого найдите подобные группы и сложите их коэффициенты.

Запишите результат в привычном порядке: сначала члены с большей степенью, затем остальные буквенные части и свободное число. Порядок не меняет значение, но делает ответ легче для чтения и проверки.

• переписать каждый член вместе с его знаком
• распределить множитель на все слагаемые в скобках
• сгруппировать только одинаковые буквенные части
• сложить коэффициенты и проверить подстановкой

Полный пример с двумя скобками

Упростим 3(2x − 4) − 2(x + 5) + 7. Первую скобку раскрываем как 6x − 12. Перед второй фактически стоит множитель −2, поэтому получаем −2x − 10. Всё выражение принимает вид 6x − 12 − 2x − 10 + 7.

Приводим подобные: 6x − 2x = 4x, а −12 − 10 + 7 = −15. Итог: 4x − 15. Нельзя объединять 4x и −15: у свободного числа нет буквенной части.

Проверим подстановкой x = 2. Исходное выражение равно 3(4 − 4) − 2(2 + 5) + 7 = −7. Упрощённое выражение даёт 4 × 2 − 15 = −7. Совпадение подтверждает преобразование для выбранного значения.

Вложенные скобки и отрицательный множитель

Если скобки вложены, обычно начинают с внутренних. Рассмотрим 5 − 2(3 − (x − 4)). Внутренний минус меняет знаки: 3 − x + 4 = 7 − x. Затем −2(7 − x) = −14 + 2x. Получаем 5 − 14 + 2x = 2x − 9.

Можно раскрывать и снаружи, но тогда промежуточная запись длиннее и риск потерять знак выше. Какой бы порядок вы ни выбрали, множитель должен попасть в каждый член соответствующей скобки.

Если перед скобкой записана дробь, правило то же. Например, (1/2)(6x − 8) = 3x − 4. Сокращайте отдельные произведения, а не всю сумму сразу.

Типичные ошибки и проверка

Частые ошибки — поменять знак только у первого члена, умножить внешний коэффициент только на один член, сложить разные степени или потерять отрицательный коэффициент. Запись промежуточной строки после раскрытия скобок делает такие ошибки заметнее.

Надёжная проверка — выбрать простое значение переменной и независимо вычислить исходное и упрощённое выражения. Лучше проверить два значения, например 0 и 2: случайное совпадение тогда менее вероятно. Подстановка не объясняет правило, но хорошо контролирует арифметику.

• минус перед скобками меняет все внутренние знаки
• множитель относится к каждому слагаемому
• x и x² не являются подобными
• свободные числа объединяются только с числами