Как решать задачи на геометрическую прогрессию
В геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Степени q связывают номера членов, а отдельная формула быстро даёт сумму начала последовательности.
Как распознать геометрическую прогрессию
Последовательность ненулевых чисел является геометрической, если отношение следующего члена к предыдущему постоянно: q = bₙ₊₁/bₙ. Число q называют знаменателем прогрессии.
У ряда 3, 6, 12, 24 знаменатель равен 2. У ряда 16, -8, 4, -2 знаменатель равен -1/2, поэтому знаки чередуются, а модули уменьшаются.
Проверьте несколько соседних отношений. Одинаковая разность относится к арифметической прогрессии, одинаковое отношение относится к геометрической.
Формула n-го члена
Член с номером n находят по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Показатель n - 1 равен числу умножений от первого члена до нужного.
Связь двух произвольных членов записывают как bₙ = bₖqⁿ⁻ᵏ. Она удобна, когда условие не сообщает b₁.
- выписать b₁, q и n
- проверить знак q
- вычислить степень qⁿ⁻¹
- умножить на первый член
- сверить соседний член
- не путать номер с показателем степени
Пример 1: найти член по номеру
Дана прогрессия 5, 15, 45 и далее. Первый член равен 5, знаменатель q = 15/5 = 3. Найдём шестой член.
Подставим данные: b₆ = 5 × 3⁵ = 5 × 243 = 1215. Степень равна пяти, потому что от b₁ до b₆ нужно пять переходов.
Проверка назад: b₅ = 1215/3 = 405. Прямая формула 5 × 3⁴ тоже даёт 405.
Сумма первых n членов
При q ≠ 1 сумму находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1). Равносильная запись Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q) удобна при дробном q.
Если q = 1, все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁. Подстановка q = 1 в дробную формулу даёт деление на ноль и недопустима.
Перед вычислением суммы установите число членов. От первого до n-го включительно находится ровно n слагаемых.
Пример 2: сумма и проверка
Пусть b₁ = 2, q = 3. Найдём сумму первых пяти членов: S₅ = 2(3⁵ - 1)/(3 - 1) = 3⁵ - 1 = 242.
Проверим обычным сложением. Первые члены равны 2, 6, 18, 54 и 162. Их сумма 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Для отрицательного q члены меняют знак. Нельзя складывать только их модули: знак каждого слагаемого влияет на итог.
Бесконечно убывающая прогрессия
Если |q| < 1, модули членов стремятся к нулю, а бесконечная сумма равна S = b₁/(1 - q). Условие на модуль обязательно.
Для 12, 6, 3, 1,5 и далее q = 1/2. Сумма равна 12/(1 - 1/2) = 24.
При q = 1, q > 1 или q ≤ -1 последовательность частичных сумм не сходится к конечному числу. Формулу бесконечной суммы в этих случаях не используют.
Ошибки и итоговая проверка
Частая ошибка состоит в записи qⁿ вместо qⁿ⁻¹ для отдельного члена. Проверьте n = 1: формула должна вернуть b₁.
Не делите на предыдущий член, равный нулю. Стандартное определение геометрической прогрессии требует ненулевых членов и q ≠ 0 в основной части курса.
Подставьте найденные b₁ и q в два известных члена. Сумму малого числа членов пересчитайте сложением. Для бесконечной суммы сначала проверьте |q| < 1.
- отношения соседних членов совпадают
- показатель равен n - 1
- знак отрицательного q сохранён
- случай q = 1 обработан отдельно
- для бесконечной суммы выполнено |q| < 1
- обратная проверка восстановила данные
Продолжить разбор
Связанные страницы помогут выбрать подходящий способ работы с заданием.
Частые вопросы
Как найти знаменатель прогрессии?
Разделить следующий ненулевой член на предыдущий: q = bₙ₊₁/bₙ.
Как найти n-й член?
Использовать bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Как найти сумму первых n членов?
При q ≠ 1 использовать Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1).
Что делать при q = 1?
Все члены равны, поэтому Sₙ = nb₁.
Когда существует бесконечная сумма?
Когда модуль знаменателя меньше единицы.
Как отличить прогрессии?
У арифметической постоянна разность, у геометрической постоянно отношение.
Сложное задание? Давайте разберём
Отправьте фотографию или текст и получите понятное объяснение удобным для вас способом.