Как решать задачи на арифметическую прогрессию

Как распознать арифметическую прогрессию

Последовательность a₁, a₂, a₃ и далее является арифметической, если разность aₙ₊₁ - aₙ постоянна. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d.

У ряда 5, 8, 11, 14 разность равна 3. У ряда 10, 6, 2, -2 разность равна -4. Нулевая разность даёт постоянную последовательность, например 7, 7, 7.

Проверяйте несколько соседних пар. Совпадение одной разности ещё не подтверждает правило для всей последовательности.

Формула n-го члена

Любой член находят по формуле aₙ = a₁ + (n - 1)d. Множитель n - 1 показывает число шагов от первого члена до нужного.

Если известен не первый, а другой член, используйте связь aₙ = aₖ + (n - k)d. Например, от a₄ до a₁₀ нужно сделать шесть шагов, поэтому a₁₀ = a₄ + 6d.

• выписать известные a₁, d и n
• проверить знак разности
• посчитать число шагов n - 1
• подставить значения в формулу
• восстановить соседний член для проверки
• указать номер и значение отдельно

Пример 1: найти член по номеру

Дана прогрессия 4, 9, 14 и далее. Первый член равен 4, разность d = 9 - 4 = 5. Найдём двенадцатый член.

По формуле a₁₂ = 4 + (12 - 1) × 5 = 4 + 55 = 59. Здесь одиннадцать шагов, а не двенадцать, потому что начальный член уже стоит на первом месте.

Проверка назад: a₁₁ = 59 - 5 = 54. Прямая формула даёт 4 + 10 × 5 = 54, результаты совпали.

Сумма первых n членов

Сумму вычисляют по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Если последний член неизвестен, подставьте его выражение и получите Sₙ = [2a₁ + (n - 1)d]n/2.

Формула возникает из пар крайних членов. Суммы a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и других равноудалённых пар одинаковы.

При нечётном n один средний член остаётся без пары, но формула учитывает его через умножение на n и деление на два.

Пример 2: найти сумму

Пусть a₁ = 3, d = 4, нужно найти сумму первых 20 членов. Сначала вычислим a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79.

Теперь S₂₀ = (3 + 79) × 20 / 2 = 82 × 10 = 820. Можно сразу применить вторую формулу: [2 × 3 + 19 × 4] × 20 / 2 = 820.

Проверка среднего значения: полусумма крайних членов равна 41. Двадцать членов со средним 41 дают 41 × 20 = 820.

Текстовая задача

В первом ряду зала 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. В пятнадцатом ряду a₁₅ = 18 + 14 × 2 = 46 мест.

Общее число мест в пятнадцати рядах равно S₁₅ = (18 + 46) × 15 / 2 = 480. Основанием модели служит одинаковое увеличение на 2 места от ряда к ряду.

Считайте первый день, ряд или этап членом номер один. Если нумерация начинается с нуля, сначала переведите номер из условия в номер члена последовательности.

Ошибки, особые случаи и проверка

В формуле n-го члена часто пишут nd вместо (n - 1)d. Проверьте формулу при n = 1: она должна вернуть a₁ без прибавления d.

Не путайте арифметическую прогрессию с геометрической. Постоянная разность указывает на арифметическую, постоянное отношение соседних ненулевых членов указывает на геометрическую.

Подставьте найденные параметры в два известных члена. Для суммы оцените среднее крайних членов и умножьте его на количество. Ответ должен совпасть с формулой Sₙ.

• разности соседних членов равны
• знак d сохранён
• использовано n - 1 шагов
• последний член проверен отдельно
• в сумму входит ровно n членов
• среднее крайних подтверждает сумму