Как решать задачи на закон всемирного тяготения

Формула, единицы и порядок решения

Закон записывают как F = Gm₁m₂/r². Здесь F измеряется в ньютонах, массы m₁ и m₂ в килограммах, расстояние r в метрах, а G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Для шарообразных тел r считают между центрами, а не между поверхностями.

Формула напрямую применима к материальным точкам и сферически-симметричным телам, если рассматривают внешнюю точку. Силы действуют вдоль линии, соединяющей центры. Каждое тело получает силу одинакового модуля, хотя ускорения a = F/m у них различаются.

Выпишите массы и расстояние, переведите граммы и километры в СИ, возведите расстояние в квадрат и только потом умножайте на G. Если требуется сравнение двух ситуаций, отношение сил часто позволяет сократить G и массы.

• перевести массы в килограммы
• измерить расстояние между центрами
• возвести r в квадрат
• подставить G
• записать силу в ньютонах
• оценить изменение силы

Пример 1: сила между двумя телами

Два однородных шара массами 20 кг и 30 кг находятся на расстоянии 2 м между центрами. F = 6,67·10⁻¹¹·20·30/2². Произведение масс равно 600 кг², квадрат расстояния равен 4 м².

Получаем F = 6,67·10⁻¹¹·150 = 1,0005·10⁻⁸ Н, примерно 1,0·10⁻⁸ Н. Проверка размерности: (Н·м²/кг²)·кг²/м² = Н. Сила мала из-за небольших масс.

Пример 2: как меняется сила

В исходной ситуации сила равна F. Первую массу увеличили в 3 раза, вторую уменьшили в 2 раза, а расстояние между центрами увеличили в 4 раза. Новая сила F₂/F = (3·1/2)/4² = 1,5/16 = 3/32.

Значит, F₂ = 3F/32, то есть сила стала примерно в 10,67 раза меньше. Проверка по отдельным влияниям: массы дали множитель 1,5, расстояние дало деление на 16; итоговый множитель меньше единицы и равен 0,09375.

Связь с силой тяжести и высотой

У поверхности планеты масса M притягивает тело массы m с силой F = GMm/R². Сравнение с F = mg даёт g = GM/R². На высоте h от поверхности расстояние до центра равно R + h, поэтому g(h) = GM/(R + h)².

При подъёме на высоту, равную радиусу планеты, расстояние от центра удваивается, а сила притяжения уменьшается в четыре раза. Масса тела при этом не меняется. Меняется сила тяжести и, следовательно, вес в выбранных условиях движения.

Границы модели, ошибки и чек-лист

Нельзя подставлять расстояние между поверхностями вместо расстояния между центрами. При удвоении r сила уменьшается в четыре раза, а не в два. Гравитационная постоянная G и ускорение свободного падения g обозначают разные величины.

Для тел сложной формы и точек внутри массивного тела простая модель сосредоточенных в центрах масс требует дополнительного обоснования. В обычной задаче проверьте знак порядка: увеличение расстояния обязано уменьшить силу, а увеличение любой массы увеличить её.

• использовано расстояние между центрами
• километры переведены в метры
• расстояние возведено в квадрат
• G не перепутано с g
• направления сил противоположны
• порядок величины проверен