Как решать задачи на вероятность

Классическая вероятность и алгоритм

Если опыт имеет n равновозможных исходов, а событию A благоприятствуют m из них, то P(A) = m/n. Вероятность лежит от 0 до 1. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное событие имеет вероятность 1. Равновозможность важна: нельзя считать исходы простой дробью, если одни из них встречаются чаще других.

Запишите случайный опыт одним предложением. Затем перечислите или посчитайте пространство исходов, сформулируйте событие A и найдите благоприятные исходы. Сократите дробь и проверьте границы. Для нескольких шагов решите, складывать или умножать вероятности.

Вероятности несовместных вариантов складывают: если A и B не могут произойти одновременно, P(A или B) = P(A) + P(B). Для независимых последовательных событий вероятности умножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Вероятность противоположного события равна P(не A) = 1 − P(A).

• описать опыт
• назвать событие
• проверить равновозможность
• посчитать все исходы
• посчитать благоприятные исходы
• проверить ответ от 0 до 1

Пример 1: один бросок кубика

Игральный кубик бросают один раз. Найдём вероятность выпадения числа больше 4. Возможны шесть равновозможных результатов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Условию отвечают два исхода, 5 и 6. Поэтому P = 2/6 = 1/3.

Проверим ответ через противоположное событие. Число не больше 4 выпадает в четырёх случаях, его вероятность равна 4/6 = 2/3. Сумма 1/3 + 2/3 равна 1, значит все исходы учтены и не пересекаются.

Пример 2: два независимых события

Монету подбрасывают два раза. Требуется получить два орла. На каждом броске вероятность орла равна 1/2, результаты бросков независимы. Поэтому P = 1/2·1/2 = 1/4.

Независимая проверка перечислением даёт четыре равновозможные пары: орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка. Благоприятна одна пара из четырёх. Для события «хотя бы один орёл» удобнее взять дополнение: 1 − P(две решки) = 1 − 1/4 = 3/4.

Выбор без возвращения

В коробке 3 красных и 2 синих шара. Два шара достают подряд без возвращения. Вероятность двух красных равна 3/5·2/4 = 6/20 = 3/10. После первого выбора меняются и число красных шаров, и общее число шаров.

Если первый шар возвращают, второй выбор снова проходит из пяти шаров, и вероятность двух красных равна 3/5·3/5 = 9/25. Слова «с возвращением» и «без возвращения» меняют модель. Умножать одинаковые дроби можно только тогда, когда состав набора восстановлен или испытания устроены одинаково и независимо.

Ошибки, ограничения и чек-лист

Не складывайте вероятности событий, которые могут произойти вместе, без поправки на пересечение. В общем случае P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Не умножайте вероятности зависимых событий как независимые. При выборе без возвращения пересчитывайте состав после каждого шага.

Проверьте смысл ответа. Вероятность не бывает отрицательной или больше единицы. Если благоприятно большинство исходов, результат не должен быть близок к нулю. Для фразы «хотя бы один» часто короче посчитать противоположный случай, а для «ровно один» нужно учесть все допустимые порядки.

• исходы равновозможны
• события совместны или несовместны
• зависимость учтена
• возвращение замечено
• все порядки перечислены
• ответ находится между 0 и 1