Как найти первообразную и вычислить интеграл

Формулы и порядок решения

Функция F называется первообразной для f на промежутке, если F′(x) = f(x) во всех точках этого промежутка. Если одна первообразная найдена, остальные отличаются от неё на постоянное число: ∫f(x)dx = F(x) + C. Производная постоянной равна нулю, поэтому без C ответ на неопределённый интеграл будет неполным.

Для степени действует формула ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ −1. Особый случай ∫dx/x = ln|x| + C. Также ∫k dx = kx + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C. Постоянный множитель можно вынести, а сумму интегрировать по слагаемым.

Сначала упростите выражение и разделите его на табличные части. Затем для каждого слагаемого выберите первообразную, соберите результат и добавьте одну общую постоянную C. Последний шаг обязателен: возьмите производную полученной функции и убедитесь, что вернулось исходное подынтегральное выражение.

• упростить подынтегральную функцию
• разделить сумму на слагаемые
• применить табличные формулы
• учесть коэффициенты
• добавить общую C
• проверить ответ производной

Пример 1: первообразная многочлена

Найдём ∫(6x² − 4x + 3)dx. Интегрируем по слагаемым: ∫6x²dx = 6·x³/3 = 2x³; ∫(−4x)dx = −4·x²/2 = −2x²; ∫3dx = 3x. Получаем F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C.

Проверим результат независимо от хода вычислений. Производная 2x³ равна 6x², производная −2x² равна −4x, производная 3x равна 3, а C исчезает. Итого F′(x) = 6x² − 4x + 3, то есть исходная функция восстановлена точно.

Пример 2: определённый интеграл

Вычислим ∫₀²(3x² + 1)dx. Первообразная равна F(x) = x³ + x. По формуле Ньютона — Лейбница подставляем сначала верхнюю, затем нижнюю границу: F(2) − F(0) = (8 + 2) − (0 + 0) = 10.

Проверка здравым смыслом: на отрезке от 0 до 2 функция 3x² + 1 положительна, поэтому интеграл должен быть положительным. Её значения растут от 1 до 13, ширина отрезка равна 2, а ответ 10 не противоречит этим границам: 2·1 ≤ 10 ≤ 2·13. Постоянную C здесь не пишут, поскольку она сокращается в разности F(2) − F(0).

Площадь, знак и особые случаи

Определённый интеграл равен ориентированной площади. Часть графика выше оси Ox даёт положительный вклад, ниже оси даёт отрицательный. Поэтому интеграл может быть нулём даже при ненулевой геометрической площади. Чтобы найти обычную площадь, разбейте промежуток в точках пересечения с осью и сложите модули интегралов.

Формула для xⁿ не применяется при n = −1: у функции 1/x первообразная ln|x|, причём отдельно на промежутках x > 0 и x < 0. Если функция имеет разрыв внутри границ, обычная формула Ньютона — Лейбница без анализа несобственного интеграла неприменима. Для сложных выражений иногда нужны замена переменной или интегрирование по частям.

Типичные ошибки и итоговая проверка

Частая ошибка состоит в уменьшении степени, как при вычислении производной. При интегрировании степень, наоборот, увеличивают на единицу и делят на новый показатель. Нельзя забывать C в неопределённом интеграле, добавлять отдельную постоянную к каждому слагаемому или сохранять C в окончательном значении определённого интеграла.

Перед сдачей решения проверьте область определения, коэффициенты и границы. В записи [F(x)]ₐᵇ всегда вычисляйте F(b) − F(a), а не наоборот. Если требуется площадь, найдите нули функции и учтите смену знака. Производная ответа остаётся самым быстрым способом проверить первообразную.

• степень увеличена на единицу
• деление выполнено на новый показатель
• случай 1/x рассмотрен отдельно
• C добавлена только в неопределённом интеграле
• верхняя граница вычитается первой
• знак площади проверен