Как найти производную функции

Базовые формулы и алгоритм

Производную функции f(x) обозначают f′(x). Для постоянного числа C верно C′ = 0. Степенная формула имеет вид (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. Поэтому (x²)′ = 2x, (x⁵)′ = 5x⁴, а производная линейной функции kx + b равна k.

Сумму и разность дифференцируют по слагаемым: (u ± v)′ = u′ ± v′. Постоянный множитель сохраняют: (Cu)′ = Cu′. Для произведения действует формула (uv)′ = u′v + uv′, для частного (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² при v ≠ 0.

У сложной функции найдите внешнюю и внутреннюю части. Производную внешней функции вычислите с сохранением внутреннего выражения, затем умножьте на производную внутренней: (F(g(x)))′ = F′(g(x))·g′(x). После выбора правила раскройте скобки только там, где это упрощает ответ.

• определить область допустимых значений
• разделить выражение на операции
• выбрать правило
• взять производные частей
• учесть внутреннюю производную
• упростить и проверить

Пример 1: многочлен и значение в точке

Найдём производную f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7. Постоянный множитель остаётся перед производной степени: (3x⁴)′ = 12x³, (−5x²)′ = −10x, 7′ = 0. Получаем f′(x) = 12x³ − 10x.

В точке x = 2 значение производной равно f′(2) = 12·8 − 10·2 = 96 − 20 = 76. Проверка каждого показателя: степень x⁴ уменьшилась до x³ и дала множитель 4; степень x² уменьшилась до x и дала множитель 2.

Пример 2: сложная функция

Пусть g(x) = (2x − 1)⁵. Внешняя функция представляет пятую степень, внутренняя равна 2x − 1. Производная внешней части даёт 5(2x − 1)⁴, производная внутренней равна 2.

Перемножаем результаты: g′(x) = 10(2x − 1)⁴. Проверка раскрытием для небольшого фрагмента: коэффициент при старшей степени исходной функции равен 2⁵ = 32, поэтому производная старшего члена 32x⁵ равна 160x⁴. В найденном ответе старший член равен 10·(2x)⁴ = 160x⁴.

Произведение и геометрический смысл

Для h(x) = x²(x + 3) применим правило произведения: h′(x) = 2x(x + 3) + x²·1 = 3x² + 6x. Можно сначала раскрыть скобки: h(x) = x³ + 3x², тогда h′(x) = 3x² + 6x. Совпадение подтверждает вычисление.

Число f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке x₀. Положительная производная означает локальный рост функции, отрицательная означает убывание. Равенство f′(x₀) = 0 даёт горизонтальную касательную, но само по себе не доказывает наличие максимума или минимума.

Ограничения, ошибки и чек-лист

Нельзя брать производную произведения как u′v′ и частного как u′/v′. В сложной функции часто теряют множитель g′(x). Для корней и дробей сначала зафиксируйте область допустимых значений, поскольку формула производной действует только там, где определено исходное выражение.

Функция может быть непрерывной, но не иметь производной в отдельной точке. Например, у y = |x| в нуле левый наклон равен −1, правый равен 1. Перед ответом сравните степень результата с исходной и подставьте простое значение x для арифметической проверки.

• константа дала ноль
• степень уменьшена на единицу
• правило произведения записано двумя слагаемыми
• знаменатель возведён в квадрат
• внутренняя производная учтена
• область определения сохранена